Program Linear: Meracik Kapasitas Maksimal

Menerjemahkan Aturan Jadi Angka

Fungsi kendala adalah bentuk matematis dari batas kapasitas fisik yang tidak bisa dilampaui sedikit pun.

Bayangkan kamu adalah seorang manajer maskapai penerbangan. Pesawat yang kamu kelola adalah aset penghasil keuntungan, dan tiket terjual adalah sumber pendapatan. Namun, kamu tidak bisa sembarangan menjual tiket sebanyak-banyaknya karena ada batas kapasitas fisik yang mengikat sebagai Fungsi Kendala:

1. Kendala Kapasitas Kursi: Total kursi yang tersedia di kabin hanya ada $60$ unit. Jika banyak penumpang kelas utama adalah $x$ dan kelas ekonomi adalah $y$, maka jumlah seluruh penumpang tidak boleh melampaui kapasitas kabin:

   $$x + y \le 60$$

2. Kendala Beban Bagasi: Kompartemen kargo pesawat hanya mampu menampung total beban bagasi maksimal $1.200\text{ kg}$. Tiap penumpang utama membawa jatah $40\text{ kg}$ bagasi dan penumpang ekonomi membawa $15\text{ kg}$. Beban totalnya dirumuskan:

   $$40x + 15y \le 1.200$$

Kedua ruas pada pertidaksamaan bagasi ini dapat kita sederhanakan dengan membagi masing-masing suku dengan angka $5$:

$$\frac{40x}{5} + \frac{15y}{5} \le \frac{1.200}{5} \implies 8x + 3y \le 240$$

Bentuk sederhana ini persis sama dengan pernyataan di soal, sehingga Opsi A bernilai BENAR.

Pemetaan Daerah Aman

Daerah penyelesaian adalah area irisan pada grafik tempat semua fungsi kendala terpenuhi secara bersamaan tanpa kecuali.

Untuk mengetahui kombinasi kursi mana saja yang diizinkan, kita perlu memetakan batas kendala ke bidang koordinat Cartesius. Trik termudah untuk menggambar setiap garis pembatas adalah mencari titik potong pada sumbu-$x$ (saat $y = 0$) dan sumbu-$y$ (saat $x = 0$):

1. Garis Kapasitas Kursi ($x + y = 60$):

   • Jika $y = 0$, maka $x = 60$ $\rightarrow$ titik $(60, 0)$.

   • Jika $x = 0$, maka $y = 60$ $\rightarrow$ titik $(0, 60)$.

2. Garis Batas Bagasi ($8x + 3y = 240$):

   • Jika $y = 0$, maka $8x = 240 \implies x = 30$ $\rightarrow$ titik $(30, 0)$.

   • Jika $x = 0$, maka $3y = 240 \implies y = 80$ $\rightarrow$ titik $(0, 80)$.

Karena kedua aturan menggunakan tanda pertidaksamaan lebih kecil atau sama dengan ($\le$), area yang memenuhi berada di sisi bawah kedua garis tersebut.

Wilayah tumpang tindih (irisan) di kuadran pertama inilah yang disebut Daerah Penyelesaian atau zona aman operasional. Kombinasi penumpang di luar wilayah arsiran ini dipastikan melanggar salah satu atau kedua batasan pesawat.

Menentukan Titik Kritis Keuntungan

Kombinasi optimal sering kali jatuh tepat pada perpotongan garis batas antar-kendala.

Wilayah aman operasional dibatasi oleh pojok-pojok batas yang disebut Titik Sudut. Berdasarkan Teorema Fundamental Program Linear, titik yang menghasilkan keuntungan paling ekstrem (maksimum atau minimum) selalu terletak di salah satu titik sudut ini.

Pada grafik daerah aman kita, terdapat tiga titik sudut terluar:

• Titik di sumbu-$x$: $(30, 0)$

• Titik di sumbu-$y$: $(0, 60)$

• Titik potong persimpangan antara garis kursi dan garis bagasi

Untuk mencari titik persimpangan tersebut, kita selesaikan sistem persamaan kendala dengan metode substitusi: Dari persamaan kursi, kita nyatakan $y = 60 - x$. Lalu, substitusikan ke persamaan bagasi:

$$\begin{aligned} 8x + 3(60 - x) &= 240 \\ 8x + 180 - 3x &= 240 \\ 5x &= 60 \implies x = 12 \end{aligned}$$

Substitusikan kembali nilai $x = 12$ ke persamaan jatah kursi:

$$y = 60 - 12 = 48$$

Titik temu kedua batas ini berada di koordinat $(12, 48)$. Artinya, mengangkut $12$ penumpang kelas utama dan $48$ penumpang kelas ekonomi akan menghabiskan seluruh jatah kursi ($12 + 48 = 60$) sekaligus pas membebani kapasitas kargo bagasi. Fakta bahwa jumlah kursi kelas utama yang mengoptimalkan batas adalah $12$ membuktikan bahwa Opsi B bernilai BENAR.