Membongkar Komposisi dan Invers
Langkah 1: Dekomposisi Fungsi
Untuk mencari fungsi luar dari suatu bentuk fungsi komposisi, kita memisalkan fungsi dalam sebagai variabel tunggal sementara. Bayangkan fungsi sebagai mesin pengolah bahan baku. Pada fungsi komposisi $(g \circ f)(x) = g(f(x))$, bahan baku $x$ masuk ke mesin pertama $f$ menghasilkan $f(x)$, lalu hasilnya langsung diolah lagi oleh mesin kedua $g$. Di soal, kita tahu bentuk mesin pertama $f(x) = x + 3$ dan hasil akhirnya $(g \circ f)(x) = 2x^2 + 12x + 10$. Masalahnya: bagaimana bentuk asli mesin $g$? Melakukan dekomposisi fungsi berarti membongkar gabungan mesin ini untuk mencari spesifikasi kerja mesin $g$ sendirian.
Tantangan aljabar muncul karena kita punya $g(x + 3) = 2x^2 + 12x + 10$, padahal yang kita butuhkan adalah $g(x)$. Kita tidak bisa begitu saja mencoret angka $3$. Triknya adalah membungkus seluruh isi kurung menjadi satu paket variabel baru:
Misalkan $u = x + 3$.
Nyatakan $x$ dalam $u$, sehingga didapatkan $x = u - 3$.
Ganti setiap variabel $x$ pada ruas kanan dengan $(u - 3)$.
$$g(u) = 2(u - 3)^2 + 12(u - 3) + 10$$
$$g(u) = 2(u^2 - 6u + 9) + 12u - 36 + 10$$
$$g(u) = 2u^2 - 12u + 18 + 12u - 26 = 2u^2 - 8$$
Karena $u$ hanyalah variabel perantara, kita bisa mengembalikan namanya menjadi $x$. Maka, bentuk rumus mesin luar adalah $g(x) = 2x^2 - 8$.
Diketahui $g(x - 2) = x^2 - 4x + 5$. Bentuk fungsi $g(x)$ yang benar adalah...
- x^2 - 4x + 1
- x^2 + 1
- x^2 + 9
- x^2 - 3
Jawaban: x^2 + 1
Misalkan $u = x - 2$, sehingga $x = u + 2$. Substitusikan ke persamaan: $g(u) = (u + 2)^2 - 4(u + 2) + 5 = (u^2 + 4u + 4) - 4u - 8 + 5 = u^2 + 1$. Jadi, $g(x) = x^2 + 1$. Opsi A salah karena hanya mengganti label variabel tanpa substitusi balik, sedangkan C dan D salah pada ekspansi dan penyederhanaan aljabar.
Memisalkan fungsi dalam sebagai variabel tunggal sementara untuk mencari fungsi luar
Langkah 2: Menukar Input dan Output
Esensi fungsi invers adalah mengubah proses sehingga nilai $y$ menjadi input untuk mendapatkan $x$. Jika fungsi asal $g(x)$ mengolah bahan $x$ menjadi produk $y$, maka fungsi invers $g^{-1}(x)$ bertugas menjalankan mesin secara mundur: dari produk $y$, kita mencari tahu bahan baku asalnya ($x$). Secara aljabar, ini berarti kita membalik peran variabel dari persamaan $y = 2x^2 - 8$ menjadi bentuk $x = \dots$.
Membalik proses mesin dilakukan dengan membalik urutan operasi aljabar satu per satu:
Pindahkan suku konstanta terlebih dahulu: dari $y = 2x^2 - 8$, tambahkan kedua ruas dengan $8$ menjadi $y + 8 = 2x^2$.
Bagi kedua ruas dengan koefisien kuadrat: $x^2 = \frac{y + 8}{2}$.
Tarik akar pada kedua ruas: $x = \pm\sqrt{\frac{y + 8}{2}}$.
Ketelitian urutan dan tanda operasi di tahap ini sangat krusial agar tidak terjebak pada opsi yang salah:
Opsi A ($\sqrt{\frac{x-8}{2}}$) dan Opsi E ($\sqrt{\frac{8-x}{2}}$) salah karena keliru mengubah tanda saat memindahkan konstanta $-8$ ke ruas seberang.
Opsi B ($\sqrt{\frac{x}{2}}+8$) salah karena membalik urutan operasi secara keliru, yaitu membagi dua sebelum memindahkan angka $8$.
Opsi C ($\frac{\sqrt{x+8}}{2}$) salah karena angka $2$ di bagian penyebut tidak ikut berada di dalam tanda akar.
Fungsi $y = 3x - 5$ akan dicari bentuk inversnya dengan mengubah persamaan menjadi $x = \dots$. Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut:
- Langkah pertama memindahkan angka 3 dengan cara membagi. — Salah
- Hasil akhir prosesnya adalah $x = \frac{y+5}{3}$. — Benar
Pernyataan 1 Salah karena pada $y = 3x - 5$, konstanta $-5$ harus dipindah ruaskan terlebih dahulu menjadi $y + 5 = 3x$ sebelum membagi dengan 3. Pernyataan 2 Benar karena setelah kedua ruas dibagi 3, didapatkan $x = \frac{y + 5}{3}$.
Menghitung invers fungsi linear melalui urutan pindah ruas yang benar
Langkah 3: Pemilihan Tanda Akar
Syarat domain fungsi asal memastikan fungsi invers hanya menghasilkan satu nilai akar yang valid. Secara matematis, operasi akar kuadrat pada persamaan $x^2 = \frac{y + 8}{2}$ selalu menghasilkan dua cabang nilai: positif dan negatif ($x = \pm\sqrt{\frac{y + 8}{2}}$). Agar suatu relasi kebalikan sah disebut fungsi, satu input hanya boleh menghasilkan tepat satu output. Di sinilah domain (syarat batas nilai input pada mesin asal) memainkan peranan penentu.
Pada soal diberikan batas domain untuk mesin asal, yaitu $x \ge 0$. Karena bahan baku asal ($x$) nilainya tidak pernah negatif, maka ketika mesin dijalankan mundur lewat fungsi invers, hasil keluarannya pun harus non-negatif:
Kita membuang cabang tanda negatif ($-\sqrt{\dots}$).
Kita memilih cabang tanda positif ($+\sqrt{\dots}$).
Dengan mengganti kembali label output menjadi variabel standar, kita peroleh rumus akhir:
$$g^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x + 8}{2}}$$
Bentuk ini persis bersesuaian dengan Opsi D, yang merupakan jawaban yang benar.