Menebak Genap-Ganjil Aljabar

Memasangkan Kaos Kaki

Semua bilangan bulat hanya punya dua kemungkinan: genap yang berpasangan sempurna ($2n$), atau ganjil yang menyisakan satu pasang ($2n+1$).

Sifat pengelompokan bilangan bulat ini disebut paritas. Kamu bisa membayangkannya seperti merapikan tumpukan kaos kaki:

• Bilangan genap ($2n$): Semua kaos kaki dapat dipasangkan dua-dua dengan rapi. Nilai $n$ melambangkan berapa banyak pasang kaos kaki yang terbentuk. Karena semuanya berpasangan tanpa sisa, bilangannya habis dibagi 2.

• Bilangan ganjil ($2n+1$): Setelah semua kaos kaki dipasangkan dua-dua, ternyata tersisa tepat 1 kaos kaki tak berpasangan. Berapa pun jumlah pasangannya ($n$), sisa $+1$ di ujung membuat totalnya selalu bernilai ganjil.

Abaikan Variabel yang Seram

Sebongkah aljabar sebesar apa pun pasti menghasilkan bilangan genap asalkan semua suku-sukunya bisa difaktorkan dengan angka 2.

Pada soal, opsi-opsi yang ada dipenuhi suku berpangkat seperti $k^4$ atau $k^3$:

• Opsi A: $2k^2 - 4k + 8$

• Opsi B: $2k^4 + 10k^3 - 12$

• Opsi D: $2k^2 - 10$

• Opsi E: $6k^4 - 10k^2 + 10k$

Variabel $k$ dengan berbagai pangkat ini bisa kamu anggap seperti kotak misterius berisi sejumlah kaos kaki. Kita tidak perlu menebak isi kotaknya ganjil atau genap. Kuncinya ada pada angka di depan variabel (koefisien) serta konstantanya: semuanya merupakan bilangan genap (seperti 2, 4, 6, 8, 10, dan 12).

Karena setiap suku memiliki faktor kelipatan 2, kita dapat memfaktorkan angka 2 ke luar tanda kurung:

$$\begin{aligned} \text{Opsi A: } & 2k^2 - 4k + 8 = 2(k^2 - 2k + 4) \\ \text{Opsi B: } & 2k^4 + 10k^3 - 12 = 2(k^4 + 5k^3 - 6) \\ \text{Opsi D: } & 2k^2 - 10 = 2(k^2 - 5) \\ \text{Opsi E: } & 6k^4 - 10k^2 + 10k = 2(3k^4 - 5k^2 + 5k) \end{aligned}$$

Menemukan Sisa Satu

Bilangan ganjil didapat apabila dari proses faktorisasi angka 2, masih tertinggal persis satu ujung konstanta ($+1$).

Mari kita bedah Opsi C: $8k^2 - 30k + 31$. Suku-suku berpeubah di depan ($8k^2$ dan $-30k$) memiliki koefisien genap, tetapi konstanta di ujungnya adalah bilangan ganjil 31. Angka 31 ini tidak bisa habis dibagi dua. Oleh karena itu, kita dapat memecahnya menjadi bilangan genap terdekat ditambah satu:

$$31 = 30 + 1$$

Sekarang tuliskan ulang ekspresi Opsi C, lalu keluarkan faktor 2 dari suku-suku yang genap:

$$\begin{aligned} 8k^2 - 30k + 31 &= 8k^2 - 30k + 30 + 1 \\ &= 2(4k^2 - 15k + 15) + 1 \end{aligned}$$

Bagian di dalam kurung, yaitu $(4k^2 - 15k + 15)$, adalah suatu bilangan bulat $n$. Bentuk tersebut menjadi $2n + 1$, persis seperti definisi bilangan ganjil. Sisa $+1$ di paling belakang menjamin bahwa nilai dari Opsi C selalu ganjil untuk setiap bilangan bulat $k$.