Pertidaksamaan Pecahan: Strategi Anti-Jebakan

Jebakan Maut "Kali Silang"

Saat melihat bentuk pecahan di kedua ruas seperti $\frac{x}{x-1} \leq \frac{x+2}{x+1}$, insting pertama kebanyakan orang adalah langsung mengali silang: mengalikan $x$ dengan $(x+1)$ dan $(x-1)$ dengan $(x+2)$.

Pada persamaan biasa ($=$), kali silang sepenuhnya sah. Namun pada pertidaksamaan ($\leq, \geq, <, >$), langkah ini adalah jebakan paling berbahaya!

Perbandingan persamaan yang aman dikali silang versus pertidaksamaan yang dilarang dikali silang karena tanda variabel tidak tentu.

Kenapa kali silang dilarang keras? Ingat kembali aturan paling sakral dalam pertidaksamaan:

Karena kita tidak tahu apakah pengalinya positif atau negatif di setiap titik, mengali silang secara sembarangan akan menghilangkan sebagian besar interval solusi atau bahkan menghasilkan jawaban yang terbalik total.

Mengapa kita dilarang langsung mengali silang kedua ruas pada pertidaksamaan $\frac{1}{x-2} > 3$?

Karena pembilang kedua pecahan memiliki derajat aljabar yang sama besar.
Karena operasi perkalian silang hanya berlaku untuk pecahan bilangan bulat murni.
Karena nilai (x - 2) bisa negatif tergantung x, sehingga arah tanda pertidaksamaan tidak pasti.
Karena variabel x akan langsung tereliminasi dan menyisakan pertidaksamaan tanpa solusi.

Jawaban: Karena nilai (x - 2) bisa negatif tergantung x, sehingga arah tanda pertidaksamaan tidak pasti.

Mengali silang sama saja dengan mengalikan kedua ruas dengan penyebut (x - 2). Karena (x - 2) bisa bernilai positif (jika x > 2) atau negatif (jika x < 2), kita tidak tahu apakah tanda '>' harus dipertahankan atau dibalik. Makanya kali silang dilarang keras!

Kali silang pertidaksamaan rasional dilarang karena tanda penyebut bergantung pada nilai x dan belum tentu positif.

Rute Aman: Nol-kan Satu Ruas

Jika kali silang adalah rute berbahaya, lantas apa taktik yang selalu valid dan aman untuk setiap pertidaksamaan rasional?

Jawabannya adalah memindahkan seluruh suku ke satu ruas sehingga ruas lainnya menjadi angka nol ($0$).

Diagram alur aljabar dari dua pecahan di kedua ruas menjadi satu pecahan tunggal dengan ruas kanan bernilai nol.

Mari kita amati keajaiban dari aljabar di atas secara bertahap:

Kurangkan kedua ruas dengan pecahan kanan: $$\frac{x}{x-1} - \frac{x+2}{x+1} \leq 0$$ Kenapa nol itu sakti? Membandingkan suatu fungsi dengan angka nol artinya kita cuma perlu mencari tahu: kapan hasilnya positif $(>0)$ atau kapan hasilnya negatif $(<0)$!
Samakan penyebut: $$\frac{x(x+1) - (x+2)(x-1)}{(x-1)(x+1)} \leq 0$$
Uraikan pembilang: $$x(x+1) = x^2 + x$$ $$(x+2)(x-1) = x^2 + x - 2$$ Kurangkan keduanya: $$(x^2 + x) - (x^2 + x - 2) = 2$$

Hasil akhirnya adalah bentuk pecahan tunggal yang sangat rapi:

Pada bentuk akhir $\frac{2}{(x-1)(x+1)} \leq 0$, kesimpulan aljabar apa yang langsung bisa kita ambil mengenai penyebutnya?

Penyebut $(x-1)(x+1)$ harus bernilai positif karena pembilangnya positif.
Penyebut $(x-1)(x+1)$ harus bernilai negatif karena pembagian bilangan positif dengan negatif menghasilkan bilangan negatif.
Kita boleh langsung mengalikan kedua ruas dengan $(x-1)(x+1)$ tanpa memikirkan tanda karena ruas kanan nol.
Pecahan tersebut tidak mungkin memiliki penyelesaian karena pembilangnya tidak memiliki variabel x.

Jawaban: Penyebut $(x-1)(x+1)$ harus bernilai negatif karena pembagian bilangan positif dengan negatif menghasilkan bilangan negatif.

Karena pembilangnya adalah +2 (selalu positif), agar pecahan $\frac{2}{(x-1)(x+1)} \leq 0$ bernilai negatif, penyebutnya $(x-1)(x+1)$ harus bernilai negatif (< 0). Positif dibagi negatif = negatif.

Tanda suatu pecahan ditentukan oleh kombinasi tanda pembilang dan penyebut; jika pembilang positif tetap, penyebut harus negatif agar pecahan bernilai negatif.

Eksekusi Uji Tanda

Sekarang kita tiba pada tahap penentuan daerah solusi dari ekspresi:

Langkah krusial pertama adalah menentukan titik kritis (pembuat nol):

Pembilang: $2 = 0$ (tidak ada pembuat nol).
Penyebut: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ dan $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Coba geser nilai $x$ pada visual interaktif berikut untuk melihat perubahan tanda pecahan di tiap daerah:

Dari garis bilangan yang terbagi oleh titik kritis $x = -1$ dan $x = 1$, kita punya 3 interval untuk diuji:

Daerah Kiri ($x < -1$): Ambil titik uji $x = -2$: $$\frac{2}{(-2-1)(-2+1)} = \frac{2}{(-3)(-1)} = \frac{2}{3} > 0 \quad (\text{Positif } \boldsymbol{+})$$ Daerah ini tidak memenuhi karena kita mencari yang $\leq 0$.
Daerah Tengah ($-1 < x < 1$): Ambil titik uji $x = 0$: $$\frac{2}{(0-1)(0+1)} = \frac{2}{(-1)(1)} = \frac{2}{-1} = -2 < 0 \quad (\text{Negatif } \boldsymbol{-})$$ Daerah ini memenuhi karena bernilai negatif!
Daerah Kanan ($x > 1$): Ambil titik uji $x = 2$: $$\frac{2}{(2-1)(2+1)} = \frac{2}{(1)(3)} = \frac{2}{3} > 0 \quad (\text{Positif } \boldsymbol{+})$$ Daerah ini tidak memenuhi.

Karena hanya daerah tengah yang menghasilkan nilai negatif dan titik ujungnya dilarang ikut, maka himpunan penyelesaiannya adalah:

Inilah alasan mengapa opsi B adalah jawaban yang benar!