Trik Bagi-Sisa-Balik Pecahan Bertingkat
Trik Sulap Membalik Pecahan
Kalau kamu ketemu bentuk aneh seperti $d + \frac{1}{c + ...}$, jangan panik dulu. Lihat ada angka 1 di atas (pembilang) sana? Itulah petunjuk pertamanya. Soal ini sebenarnya meminta kita memecah sebuah angka menjadi bentuk pecahan yang pembilangnya selalu 1.
Tapi bagaimana cara kita "memaksa" angka 1 muncul di atas tanpa mengubah nilai bilangannya?
Ada satu ide sederhana dari aljabar dasar: sebuah pecahan $\frac{a}{b}$ nilainya selalu sama persis dengan $1$ dibagi kebalikannya, alias $\frac{1}{b/a}$.
Kenapa bisa begitu? Ingat sifat pembagian pecahan: membagi dengan suatu bilangan sama dengan mengalikan dengan kebalikannya. Jadi, $1$ dibagi $\frac{7}{4}$ sama dengan $1 \times \frac{4}{7}$, yang hasilnya kembali menjadi $\frac{4}{7}$.
Coba mainkan slider di bawah ini buat membuktikan kalau nilainya nggak pernah berubah meski bentuknya kita "sulap"!
Manakah bentuk di bawah ini yang ekuivalen (nilainya sama persis) dengan pecahan 3/5, dengan syarat angka 1 berada di posisi pembilang?
- A. 1 / (3/5)
- B. 1 / (5/3)
- C. 5 / (1/3)
- D. 1 / (1/5)
Jawaban: B. 1 / (5/3)
Untuk memunculkan angka 1 sebagai pembilang tanpa mengubah nilai, tulis angka 1, buat garis bagi, lalu balik posisi pecahan asli (pembilang jadi penyebut dan sebaliknya). Jadi 3/5 menjadi 1 / (5/3).
Pecahan a/b senilai dengan 1/(b/a) karena membagi dengan suatu bilangan sama dengan mengalikan dengan kebalikannya.
Jurus: Bagi, Sisa, Balik
Sekarang kita udah tahu cara membalik pecahan. Gimana cara pakai trik itu buat membedah angka yang gede kayak $\frac{60}{7}$?
Caranya adalah dengan mengubah pecahan tidak murni (pembilang lebih besar dari penyebut) menjadi pecahan bertingkat. Proses ini sering disebut algoritma pecahan berlanjut (continued fraction algorithm).
Kita cuma butuh mengulang 3 langkah ini secara siklik: Bagi, Sisa, dan Balik.
Bagi & Sisa: Coba bagi angka 60 dengan 7. Angka 7 muat 8 kali di dalam 60 ($7 \times 8 = 56$). Berarti hasilnya 8, dan sisanya 4. Jadi, $\frac{60}{7}$ bisa dipisah menjadi bilangan bulat ditambah sisanya: $8 + \frac{4}{7}$.
Balik: Di sinilah trik sulap kita kepakai! Kita butuh angka 1 di atas. Jadi, ubah sisa $\frac{4}{7}$ tadi menjadi $\frac{1}{7/4}$. Sekarang bentuknya menjadi $8 + \frac{1}{7/4}$.
Ulangi: Fokus ke bagian penyebut yang baru, yaitu $\frac{7}{4}$. Lakukan lagi "Bagi & Sisa": 7 bagi 4 hasilnya 1, sisanya 3 (jadi $1 + \frac{3}{4}$). Lalu "Balik" sisanya jadi $\frac{1}{4/3}$.
Terus ulangi jurus ini (bagi lagi, sisa, balik lagi) sampai pembilang dari pecahan sisanya sudah mentok jadi angka 1. Saat pembilangnya sudah 1, artinya siklus selesai!
Jika kamu punya pecahan 8/3 dan ingin mengubahnya menjadi pecahan bertingkat, bagaimana bentuk awalnya setelah kamu melakukan SATU KALI putaran 'Bagi, Sisa, Balik'?
- A. 2 + (2/1)
- B. 2 + 1 / (1/2)
- C. 2 + 1 / (3/2)
- D. 1 + 1 / (8/3)
Jawaban: C. 2 + 1 / (3/2)
Langkah pertama: Bagi 8 dengan 3, hasilnya bulat 2 sisa 2 (jadi 8/3 = 2 + 2/3). Langkah kedua: Balik sisanya menjadi 1 / (3/2). Jadi bentuk pertamanya adalah 2 + 1 / (3/2).
Algoritma pecahan bertingkat mengulang langkah Bagi (dapat bulat), ambil Sisa (pecahan), lalu Balik pecahan sisanya.
Cocoklogi Pola Soal
Oke, kerja keras membedah angkanya udah kelar. Dari proses "Bagi, Sisa, Balik" berkali-kali tadi, kita berhasil menguliti $\frac{60}{7}$ sampai menjadi bentuk pecahan bertingkat.
Bentuk akhir yang kita dapat dari perhitungan sebelumnya adalah:
Sekarang, tugas kita cuma memposisikan hasil ini bersebelahan dengan bentuk "rumit" yang ada di soal. Bayangkan ini seperti permainan mencocokkan bayangan. Karena nilai keduanya diklaim sama persis di soal, dan bentuk kerangkanya sudah identik (semua pembilang adalah 1), maka angka yang berada di posisi yang sama pasti memiliki nilai yang sama.
Mari kita jejerkan dan bandingkan dari atas ke bawah:
Paling depan (di luar pecahan): $d$ posisinya sama persis dengan angka $8$. (Jadi $d = 8$)
Turun satu tingkat ke penyebut pertama: $c$ berpasangan dengan $1$.
Turun lagi ke tingkat berikutnya: $b$ berpasangan dengan $1$.
Paling bawah (penyebut terakhir): variabelnya adalah $a-1$ dan pasangannya adalah $3$. Berarti $a - 1 = 3$, yang kalau dipindah ruas didapat $a = 4$.