Transformasi Fungsi Majemuk via Aljabar

Kamus Cepat Pergeseran

Pernah bingung pas ketemu soal yang grafiknya digeser ke kiri, kanan, atas, atau bawah? Kadang rasanya harus ngapalin banyak aturan, apalagi kalau pergeserannya digabung. Padahal, ada satu bentuk umum yang bisa merangkum semua pergeseran itu dengan rapi.

Mari kita perkenalkan 'kode rahasia' kita: $y = f(x-p) + q$.

Bentuk ini bukan sekadar deretan huruf, tapi instruksi visual yang sangat akurat. Kalau kamu menguasai cara membacanya, kamu nggak akan terjebak lagi saat mengubah aljabar ke bentuk visual.

Jadi, setiap kali kamu melihat bentuk fungsi diubah menjadi seperti ini, kamu sedang melihat koordinat pergeseran dari fungsi dasarnya. Kita akan jadikan ini acuan mutlak untuk menerjemahkan aljabar di soal-soal berikutnya!

Mencari Selisih Dua Fungsi

Sekarang, mari kita terapkan 'kamus' pergeseran kita ke fungsi yang ada di soal. Kita punya dua fungsi:

• $f(x) = -x^2 + 4x - 1$

• $g(x) = 4 + 4x - x^2$ (atau bisa ditulis $g(x) = -x^2 + 4x + 4$)

Kalau kita perhatikan baik-baik, kedua fungsi ini punya bagian yang sama persis, yaitu suku $-x^2 + 4x$. Mereka cuma beda di bagian angka (konstanta) di belakangnya.

Daripada membayangkan dari nol, mari kita akali aljabarnya. Tujuan kita adalah 'memaksa' bentuk $g(x)$ supaya bagian dalamnya memuat bentuk persis $f(x)$.

Caranya gampang: kita pecah angka $+4$ pada $g(x)$ supaya memunculkan angka $-1$ (milik $f(x)$). $g(x) = -x^2 + 4x - 1 + 5$

Nah, karena blok $(-x^2 + 4x - 1)$ itu persis sama dengan $f(x)$, kita bisa langsung menyusutkannya jadi: $g(x) = f(x) + 5$

Dari manipulasi ini, kita dapat kesimpulan pertama: grafik $g(x)$ adalah grafik $f(x)$ yang digeser 5 satuan ke atas.

Menaklukkan Substitusi Majemuk

Di soal, kita diberikan info tambahan: $h(x) = g(x-1) + 2$. Masalahnya, opsi jawaban meminta kita mencari hubungan antara $h$ dan $f$, bukan $h$ dan $g$.

Kalau kamu mencoba membayangkan pergeserannya ("$g$ itu $f$ digeser atas, terus $h$ itu $g$ digeser... aduh!"), otak gampang kusut. Jauh lebih aman dan anti-galau kalau kita merangkai persamaannya secara aljabar tahap demi tahap.

Mari kita lakukan "injeksi" persamaan secara berantai:

1. Kita sudah punya modal dari halaman sebelumnya: $g(x) = f(x) + 5$.

2. Tapi yang kita butuhkan adalah $g(x-1)$. Tenang, ganti saja setiap '$x$' di fungsi $g$ menjadi '$(x-1)$'. Maka jadinya: $g(x-1) = f(x-1) + 5$.

3. Sekarang, masukkan (substitusikan) blok utuh $g(x-1)$ ini ke dalam persamaan $h(x)$. $h(x) = [f(x-1) + 5] + 2$

4. Sederhanakan angka di luarnya: $h(x) = f(x-1) + 7$

Nah! Sekarang $g$ sudah hilang sama sekali. Kita punya persamaan sakti yang menghubungkan $h(x)$ langsung dengan $f(x)$.