Barisan Campuran: Aritmatika & Geometri

Menerjemahkan Barisan Aritmatika

Dalam barisan aritmatika, selisih dua suku yang berurutan selalu konstan, yang bisa kita ubah menjadi persamaan aljabar. Ibarat membangun jembatan dengan penyangga kayu, jarak antar-tiang selalu bertambah dengan ukuran langkah yang sama yang disebut beda ($b$).

Sifat dasar barisan aritmatika menyatakan bahwa suku setelahnya dikurangi suku sebelumnya selalu bernilai sama ($U_n - U_{n-1} = b$). Pada barisan $a, 8, c, d$, kita dapat membentuk dua persamaan selisih:

• Dari dua pasang suku pertama: $8 - a = c - 8$

• Dari dua pasang suku berikutnya: $c - 8 = d - c$

Dengan menyusun ulang kedua persamaan ini ke dalam variabel tengah $c$, kita memperoleh hubungan aljabar yang sangat rapi untuk $a$ dan $d$:

• $a = 16 - c$

• $d = 2c - 8$

Menerjemahkan Barisan Geometri

Pada barisan geometri, rasio dua suku yang berurutan selalu sama dan bisa dijadikan persamaan perkalian. Setelah pondasi penyangga kayu siap, kita buat hubungan penyangga besi dari barisan geometri untuk mengunci variabel jembatan kita.

Sifat utama barisan geometri berpatokan pada kelipatan: hasil bagi suku setelahnya dengan suku sebelumnya menghasilkan nilai pengali tetap yang disebut rasio ($r = \frac{U_n}{U_{n-1}}$). Kita terapkan sifat ini pada barisan tiga suku $a, 8, d$:

$$\frac{8}{a} = \frac{d}{8}$$

Melalui perkalian silang, suku tengah yang dikuadratkan setara dengan hasil kali dua suku ujungnya:

$$a \cdot d = 8^2$$

$$a \cdot d = 64$$

Menyatukan Persamaan

Informasi dari dua jenis barisan disatukan lewat substitusi untuk mengubahnya menjadi persamaan kuadrat satu variabel. Saatnya merakit kedua jenis penyangga, yaitu menggabungkan persamaan aljabar dari penyangga kayu ($a$ dan $d$) ke dalam persamaan penyangga besi geometri ($ad = 64$).

Dari halaman sebelumnya, kita telah merumuskan:

• $a = 16 - c$

• $d = 2c - 8$

Lakukan substitusi nilai $a$ dan $d$ ke dalam $ad = 64$:

$$(16 - c)(2c - 8) = 64$$

Jabarkan perkalian binomial di ruas kiri secara lengkap:

$$32c - 128 - 2c^2 + 8c = 64$$

$$-2c^2 + 40c - 128 = 64$$

$$-2c^2 + 40c - 192 = 0$$

Bagi kedua ruas dengan $-2$ agar koefisien $c^2$ menjadi positif dan sederhana:

$$c^2 - 20c + 96 = 0$$

Faktorkan persamaan kuadrat ini: cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $96$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $-20$, yaitu $-8$ dan $-12$:

$$(c - 8)(c - 12) = 0$$

Sehingga kita mendapatkan dua kemungkinan nilai yang memenuhi: $c = 8$ atau $c = 12$.