Pecahan Beruntun & Jebakan Rasio
Mulai dari Angka Cantik
Memisalkan total dengan angka yang mudah dibagi membantu kita melihat alur cerita tanpa pusing dengan variabel. Bayangkan seluruh hasil panen sebagai tumpukan $1.000$ batu bata. Setiap kali ada pembagian, kita ambil sejumlah bata sesuai aturannya:
Tengkulak: Diambil $\frac{1}{4}$ bagian dari total awal. Dari $1.000$ bata, jatah tengkulak adalah $\frac{1}{4} \times 1.000 = 250$ bata.
Sisa pertama: Batu bata yang tersisa di tumpukan sekarang adalah $1.000 - 250 = 750$ bata.
Lumbung: Diambil $20\%$ dari sisa tersebut. Karena ini adalah pecahan relatif (dihitung dari sisa, bukan dari total awal), jatah lumbung adalah $20\% \times 750 = \frac{1}{5} \times 750 = 150$ bata.
Zakat: Diambil $0{,}3$ bagian dari total hasil panen awal. Kita kembali mengacu ke tumpukan awal: $0{,}3 \times 1.000 = 300$ bata.
Total batu bata yang sudah diambil sejauh ini adalah $250 + 150 + 300 = 700$ bata. Artinya, sisa akhir yang belum dialokasikan tepat menyisakan $1.000 - 700 = 300$ bata.
Coba ubah total awal pada simulasi di atas. Perhatikan bahwa berapapun angka awal yang kamu pilih ($100$, $1.000$, atau $2.000$), proporsi bagian Sisa selalu tepat $\frac{300}{1.000} = \frac{3}{10}$ dari total awal. Kuncinya ada pada ketelitian membaca rujukan: apakah suatu jatah diambil dari tumpukan awal, atau diambil dari sisa tumpukan yang sudah berkurang.
Menerjemahkan Rasio
Rasio $2 : 1$ berarti ada $3$ bagian secara total, sehingga porsi utamanya adalah $\frac{2}{3}$, bukan $\frac{2}{1}$. Dari tumpukan permisalan kita sebelumnya, batu bata yang tersisa adalah $300$ bata. Sisa ini hendak dibagi untuk dua peruntukan: bibit dan pakan ternak.
Rasio $2 : 1$ memberi tahu kita bahwa setiap kali kita mengalokasikan $2$ bata untuk bibit, kita harus memasukkan $1$ bata untuk pakan. Dalam satu kelompok kecil alokasi, ada $2 + 1 = 3$ bata. Dengan demikian:
Porsi bibit mengambil $2$ dari total $3$ bagian, yaitu $\frac{2}{3}$ dari sisa.
Porsi pakan mengambil $1$ dari total $3$ bagian, yaitu $\frac{1}{3}$ dari sisa.
Dari sisa $300$ bata tadi, porsi bibit adalah $\frac{2}{3} \times 300 = 200$ bata.
Sebuah dana desa dialokasikan untuk perbaikan jalan dan irigasi dengan rasio 3 : 2. Berapa bagian dana yang digunakan untuk perbaikan jalan dari total dana tersebut?
- 3/2 bagian
- 3/5 bagian
- 2/5 bagian
- 1/3 bagian
Jawaban: 3/5 bagian
Rasio perbaikan jalan dan irigasi adalah 3 : 2. Ini berarti jika dana dibagi menjadi bagian-bagian yang sama, ada 3 bagian untuk jalan dan 2 bagian untuk irigasi, sehingga total dana terdiri dari 3 + 2 = 5 bagian. Porsi untuk perbaikan jalan adalah 3 dari total 5 bagian, yaitu 3/5 bagian. Opsi A (3/2) keliru karena membandingkan bagian jalan langsung terhadap irigasi (part-to-part), bukan terhadap total dana. Opsi C (2/5) adalah porsi untuk irigasi. Opsi D (1/3) mengabaikan pembagian proporsi yang sebenarnya.
Rasio a : b berarti porsi a adalah a/(a+b) dari total kelompok.
Transisi ke Aljabar
Pola yang kita temukan dengan angka permisalan berlaku sama persis saat kita mengganti total awal dengan variabel $x$. Pada simulasi $1.000$ batu bata, kita menemukan dua pecahan penting terhadap total awal:
Sisa akhir sebelum dibagi untuk bibit dan pakan adalah $\frac{300}{1.000} = \frac{3}{10}$ dari total awal, yang dalam bentuk variabel ditulis $\frac{3}{10}x$.
Porsi bibit adalah $\frac{2}{3}$ dari sisa tersebut:
$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{10}x = \frac{1}{5}x$$
Fraksi ini sama persis dengan permisalan kita, yaitu $\frac{200}{1.000} = \frac{1}{5}$ dari total awal.
Sekarang, kita hubungkan pecahan ini dengan nilai nyata di soal. Diketahui bahwa alokasi padi untuk bibit adalah $900\text{ kg}$:
$$\frac{1}{5}x = 900$$
$$x = 900 \times 5 = 4.500\text{ kg}$$
Dengan alur ini, kita memperoleh total keseluruhan hasil panen adalah $4.500\text{ kg}$ (Opsi C).