Aljabar di Balik Laju Kerja Bersama

Mendefinisikan Laju Kerja

Laju kerja adalah seberapa besar bagian pekerjaan yang selesai dalam satu hari.

Ketika kita memodelkan masalah pekerjaan, besaran waktu penyelesaian sendirian (seperti $12$ hari atau $8$ hari) belum bisa langsung dioperasikan saat dua pihak bekerja serentak. Kita perlu mengubah durasi waktu tersebut menjadi ukuran produktivitas harian yang konsisten, yaitu laju kerja.

Secara matematis, jika satu pekerjaan utuh dianggap bernilai $1$ bagian, maka hubungannya dirumuskan sebagai:

$$\text{Laju kerja} = \frac{1 \text{ bagian pekerjaan}}{\text{Waktu penyelesaian}}$$

Diagram batang membandingkan bagian pekerjaan harian Pak Budi 1/12 dan Pak Joko 1/8 .

Menyatakan kapasitas kerja dalam bentuk pecahan bagian per satuan waktu merupakan fondasi aljabar sebelum menggabungkan kontribusi dari beberapa pekerja.

Sebuah mesin pencetak dapat menyelesaikan satu dus buku dalam waktu 6 jam. Berapakah laju kerja mesin pencetak tersebut?

  • 1/6 dus per jam
  • 6 jam per dus
  • 1 dus per jam
  • 6 dus per jam

Jawaban: 1/6 dus per jam

Laju kerja diperoleh dari membagi 1 bagian pekerjaan dengan waktu penyelesaiannya. Karena 1 dus selesai dalam 6 jam, laju kerja mesin adalah 1/6 dus per jam. Opsi B salah karena menyatakan waktu, opsi C salah karena mengabaikan durasi, dan opsi D salah karena membalik pembilang dan penyebut.

Memahami cara mengubah waktu penyelesaian individu menjadi laju kerja berupa pecahan.

Kenapa Laju yang Dijumlahkan?

Saat bekerja bersama, laju kerja mereka yang dijumlahkan, bukan waktu total mereka.

Secara logika fisik, jika dua orang bekerja serentak pada objek yang sama, pekerjaan seharusnya selesai lebih cepat dari orang tercepat, bukan malah bertambah lama. Jika kita menjumlahkan waktunya secara langsung ($12 + 8 = 20\text{ hari}$), hasil tersebut jelas menyalahi penalaran karena pekerjaan justru memakan durasi yang jauh lebih panjang.

Besaran yang terakumulasi setiap harinya adalah kontribusi output mereka. Oleh karena itu, kita menjumlahkan laju kerja masing-masing individu untuk menemukan laju gabungan:

$$\text{Laju Gabungan} = \text{Laju Budi} + \text{Laju Joko} = \frac{1}{12} + \frac{1}{8}$$

Diagram penjumlahan pecahan laju kerja 2/24 ditambah 3/24 menjadi 5/24.

Untuk menjumlahkan kedua pecahan tersebut, tentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari $12$ dan $8$, yaitu $24$:

$$\text{Laju Gabungan} = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} = \frac{5}{24}\text{ bagian per hari}$$

Setiap hari saat Pak Budi dan Pak Joko mengecat bersama-sama, mereka menuntaskan tepat $\frac{5}{24}$ bagian dari seluruh pagar.

Mesin A dapat menyelesaikan tugas dalam 4 jam, sedangkan Mesin B menyelesaikannya dalam 5 jam. Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut jika keduanya dinyalakan bersamaan:

  • Waktu gabungan dapat dicari dengan menjumlahkan 4 jam dan 5 jam lalu membaginya dua. — Salah
  • Laju kerja gabungannya adalah penjumlahan dari 1/4 dan 1/5. — Benar

Pernyataan 1 salah karena waktu tidak dapat dirata-ratakan; waktu gabungan selalu lebih singkat dari mesin tercepat. Pernyataan 2 benar karena produktivitas simultan diperoleh dengan menjumlahkan laju pecahan pekerjaan per jam dari masing-masing mesin (1/4 + 1/5).

Prinsip dasar bahwa laju kerja harianlah yang dijumlahkan saat dikerjakan bersama.

Menemukan Waktu Gabungan

Waktu gabungan dihitung dengan membalik laju gabungan dan memperhatikan pembulatan di dunia nyata.

Setelah mendapatkan laju gabungan sebesar $\frac{5}{24}$ bagian per hari, kita dapat mencari waktu total ($t$) untuk menyelesaikan $1$ pagar penuh dengan membagi pekerjaan utuh tersebut terhadap laju gabungan:

$$t = \frac{1}{\text{Laju Gabungan}} = \frac{1}{\frac{5}{24}} = \frac{24}{5} = 4{,}8\text{ hari}$$

Secara nilai murni kalkulasi, pekerjaan selesai dalam $4{,}8$ hari. Namun, bagaimana interpretasinya dalam konteks hari kerja tukang bangunan?

Eksplorasi di atas menunjukkan akumulasi bagian pekerjaan seiring bertambahnya hari: