Aritmatika Formal & Selisih Kuadrat

Dekomposisi Menjadi Suku

Ekspresi matematis yang panjang wajib didekomposisi menjadi suku-suku terpisah berdasarkan tanda tambah dan kurang sebelum dievaluasi.

Dalam struktur aljabar formal, tanda penjumlahan ($+$) dan pengurangan ($-$) yang berada di luar tanda kurung atau garis pecahan bertindak sebagai pemisah hierarkis antar-suku (term). Memecahkan operasi campuran ibarat membongkar sebuah mesin besar menjadi modul-modul yang berdiri sendiri. Alih-alih menghitung seluruh deretan angka secara bersamaan, kita membedah setiap modul secara independen sebelum merakitnya kembali.

Diagram pohon dekomposisi ekspresi aritmatika menjadi tiga modul suku mandiri yang dipisahkan operator tanda tambah dan kurang.

Pada ekspresi:

$$\frac{-3^3}{\sqrt{16}} + \frac{21^2-12^2}{3^3 \cdot 11} - \frac{0,425}{0,5}$$

Terdapat tiga modul-modul utama:

  1. Suku Pertama: $\frac{-3^3}{\sqrt{16}}$

  2. Suku Kedua: $\frac{21^2-12^2}{3^3 \cdot 11}$

  3. Suku Ketiga: $\frac{0,425}{0,5}$

Pembuktian Selisih Kuadrat

Bentuk $a^2 - b^2$ terbukti secara aljabar setara dengan $(a-b)(a+b)$, sehingga komputasi kuadrat besar dapat dihindari.

Secara deduktif aljabar, pembuktian identitas selisih kuadrat diturunkan dari sifat distributif perkalian binomial:

$$(a+b)(a-b) = a(a) - a(b) + b(a) - b(b)$$

Karena perkalian pada bilangan real bersifat komutatif ($b(a) = a(b)$), kedua suku tengah saling meniadakan (aditif invers):

$$(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$$

Perhatikan bahwa bentuk $a^2 - b^2$ secara fundamental berbeda dari $(a-b)^2$. Bentuk $(a-b)^2$ menghasilkan $a^2 - 2ab + b^2$, yang masih memuat suku silang $-2ab$.

Teorema ini menjadi alat utama untuk mengevaluasi pembilang pada Suku Kedua tanpa perlu melakukan perkalian manual bilangan dua digit:

$$21^2 - 12^2 = (21 + 12)(21 - 12) = 33 \cdot 9$$

Sekarang kita evaluasi penyebut pada Suku Kedua secara simultan:

$$3^3 \cdot 11 = 27 \cdot 11$$

Substitusikan faktor pembilang dan penyebut pada modul ini:

$$\frac{33 \cdot 9}{27 \cdot 11} = \frac{(3 \cdot 11) \cdot 9}{27 \cdot 11} = \frac{27 \cdot 11}{27 \cdot 11} = 1$$

Melalui pemfaktoran deduktif, komputasi yang awalnya tampak rumit tereduksi sempurna menjadi bilangan bulat $1$.

Diberikan ekspresi $105^2 - 95^2$. Berapakah nilai dari ekspresi tersebut?

  • 100
  • 2000
  • 11025
  • 200

Jawaban: 2000

Berdasarkan identitas selisih kuadrat a^2 - b^2 = (a+b)(a-b), maka 105^2 - 95^2 = (105 + 95)(105 - 95) = (200)(10) = 2000. Opsi A keliru karena menghitung (105 - 95)^2 = 100; Opsi C keliru karena hanya menghitung 105^2; Opsi D keliru karena hanya menjumlahkan 105 + 95 tanpa dikalikan selisihnya.

Mengaplikasikan teorema selisih dua kuadrat pada kasus baru

Hierarki Tanda pada Eksponen

Tanda negatif di luar basis pemangkatan dievaluasi setelah operasi eksponensial selesai.

Terdapat perbedaan aksiomatik mendasar antara penulisan tanda minus unary tanpa kurung dan pemangkatan basis bertanda kurung:

Pada pembilang Suku Pertama, bentuk $-3^3$ didefinisikan sebagai $-(3 \cdot 3 \cdot 3) = -27$. Sementara itu, penyebutnya memuat $\sqrt{16}$, yang menurut definisi akar utama (principal root) bernilai positif $4$.

Maka evaluasi lengkap Suku Pertama adalah:

$$\frac{-3^3}{\sqrt{16}} = \frac{-27}{4} = -6,75$$

Tentukan kebenaran dari masing-masing pernyataan pemangkatan berikut:

  • Nilai dari $-2^4$ adalah $16$. — Salah
  • Nilai dari $(-2)^4$ adalah $16$. — Benar

Pernyataan 1 Salah: Pada -2^4, tanda negatif berada di luar basis eksponen, sehingga dihitung sebagai -(2^4) = -16. Pernyataan 2 Benar: Pada (-2)^4, tanda negatif berada di dalam kurung sehingga ikut dipangkatkan genap, menghasilkan (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = 16.

Membedakan operasi tanda pada eksponen genap