Membongkar Barisan Lewat Persamaan Aljabar

Pola Penjumlahan dalam Suku

Posisi suatu suku menentukan berapa banyak nilai beda ($d$) yang sudah ditambahkan dari suku awal ($a$).

Diagram deretan lima kotak barisan aritmetika dari U1 sampai U5 yang menunjukkan penambahan nilai beda d di setiap langkah.

Bayangkan barisan aritmetika seperti deretan kotak bernomor di atas. Kotak pertama ($U_1$) menyimpan nilai awal $a$. Begitu melangkah ke kotak kedua ($U_2$), kita menambahkan nilai konstan beda sebesar satu kali, sehingga nilainya menjadi $a + d$.

Jika diteruskan ke kotak ketiga ($U_3$), nilainya bertambah lagi menjadi $a + 2d$. Pola ini terus berulang: pengali nilai $d$ selalu berkurang satu dibandingkan nomor urutan suku karena langkah baru dimulai setelah kotak pertama. Oleh karena itu, suku kelima ($a_5$) bukanlah $5a + d$ atau $5a$, melainkan tepat bernilai $a + 4d$.

Pola inilah kunci dasar untuk menerjemahkan setiap informasi suku dalam soal ke bentuk aljabar yang rapi.

Diberikan sebuah barisan aritmetika dengan suku pertama $p$ dan beda $q$. Bagaimana cara menuliskan suku ke-8 dari barisan tersebut?

  • 8p + q
  • p + 7q
  • p + 8q
  • 8p + 8q

Jawaban: p + 7q

Suku pertama adalah p dan belum mengalami penambahan beda. Untuk mencapai suku ke-8, kita melangkah sebanyak (8 - 1) = 7 kali selisih, sehingga bentuk aljabarnya adalah p + 7q. Opsi A dan D keliru karena mengalikan suku awal dengan nomor urutan, sedangkan opsi C keliru karena lupa mengurangi indeks suku dengan satu.

Memahami pola aljabar suku ke-n berdasarkan nilai awal dan beda.

Menerjemahkan Kalimat Jadi Persamaan

Informasi dua nilai dalam soal bisa dimampatkan menjadi persamaan yang hanya berisi $a$ dan $d$.

Pertama, mari terjemahkan informasi penjumlahan dua suku: $a_4 + a_5 = 8$. Menggunakan pola langkah deret tadi, kita uraikan masing-masing suku:

$$a_4 = a + 3d$$

$$a_5 = a + 4d$$

Gabungkan keduanya ke dalam persamaan:

$$(a + 3d) + (a + 4d) = 8$$

$$2a + 7d = 8$$

Kita simpan bentuk ini sebagai Persamaan 2.

Kedua, terjemahkan informasi jumlah $9$ suku pertama: $a_1 + a_2 + \dots + a_9 = 18$, atau $S_9 = 18$. Rumus jumlah $n$ suku pertama adalah $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)d)$. Masukkan $n = 9$:

$$S_9 = \frac{9}{2}(2a + 8d)$$

Faktorkan angka $2$ di dalam kurung: $\frac{9}{2} \times 2(a + 4d) = 9(a + 4d)$.

Karena diketahui jumlahnya bernilai $18$:

$$9(a + 4d) = 18$$

$$a + 4d = 2$$

Kita peroleh Persamaan 1 yang jauh lebih sederhana. Dua kalimat panjang dari soal kini sudah berubah menjadi dua persamaan aljabar ringkas.

Strategi Menghadapi Dua Variabel

Eliminasi dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) yang memiliki dua variabel ($a$ dan $d$) dengan memanipulasi salah satu koefisien.

Saat ini kita memiliki dua kondisi:

  1. $a + 4d = 2$

  2. $2a + 7d = 8$

Karena ada dua huruf yang belum diketahui nilainya, kita tidak bisa menebaknya langsung. Kita samakan dulu koefisien salah satu huruf agar bisa dihilangkan. Target paling mudah adalah huruf $a$. Kalikan seluruh Persamaan 1 dengan angka $2$:

$$2(a + 4d) = 2(2) \implies 2a + 8d = 4$$

Diagram eliminasi vertikal dua persamaan linear untuk mencari nilai beda d.

Kurangkan persamaan baru tersebut dengan Persamaan 2 secara vertikal:

$$(2a + 8d) - (2a + 7d) = 4 - 8$$

$$d = -4$$

Variabel $a$ saling meniadakan hingga habis, menyisakan nilai beda $d = -4$. Selanjutnya, masukkan nilai $d = -4$ ke Persamaan 1 ($a + 4d = 2$):

$$a + 4(-4) = 2$$

$$a - 16 = 2$$

$$a = 18$$