Menyederhanakan Peluang Tiga Variabel ke Binomial

Reduksi ke Kejadian Biner

Semua percobaan peluang dengan lebih dari dua hasil dapat disederhanakan menjadi kejadian biner jika fokus targetnya hanya satu kejadian spesifik.

Diagram partisi probabilitas yang menggabungkan nilai 1 dan 2 menjadi kejadian gagal 0.9 berlawanan dengan kejadian sukses 0.1.

Banyak siswa mengira rumus distribusi binomial tidak bisa diterapkan ketika sebuah percobaan memiliki tiga kemungkinan hasil, seperti mendapatkan nilai $1$, $2$, atau $3$. Padahal, selama pertanyaan soal hanya berfokus pada kemunculan nilai $3$, kita tidak perlu memperlakukan nilai $1$ dan nilai $2$ secara terpisah.

Secara matematis, kita menggunakan prinsip komplementer untuk mereduksi ruang sampel menjadi dua kategori yang saling meniadakan:

Sukses: Mendapatkan nilai $3$, dengan peluang $P(\text{Sukses}) = P(\text{Dapat 3}) = 0.1$.
Gagal: Tidak mendapatkan nilai $3$, yang merupakan gabungan dari kejadian mendapatkan nilai $1$ atau $2$:
$$P(\text{Gagal}) = P(\text{Bukan 3}) = P(\text{Dapat 1}) + P(\text{Dapat 2}) = 0.3 + 0.6 = 0.9$$

Karena $P(\text{Sukses}) + P(\text{Gagal}) = 0.1 + 0.9 = 1$, percobaan ini telah resmi memenuhi syarat model biner, sehingga aturan dasar peluang binomial siap digunakan.

Dalam pelemparan sebuah dadu tak seimbang, peluang munculnya tiap mata dadu genap (2, 4, 6) masing-masing adalah 0.1, sedangkan peluang tiap mata dadu ganjil (1, 3, 5) masing-masing adalah 0.23 (total = 1.0). Jika kita ingin mencari peluang muncul mata dadu 6 tepat dua kali dari empat lemparan, berapakah nilai P(Gagal) yang tepat digunakan dalam model binomial?

0.23, karena mengambil peluang satu sisi mata dadu ganjil sebagai nilai representasi kegagalan.
0.9, karena kejadian selain mata dadu 6 mencakup seluruh sisa ruang sampel yang memiliki peluang komplementer.
0.33, karena menjumlahkan nilai peluang dari mata dadu 6 dengan salah satu peluang sisi ganjil.
0.77, karena hanya menjumlahkan ketiga sisi ganjil dan belum memasukkan sisi genap lainnya.

Jawaban: 0.9, karena kejadian selain mata dadu 6 mencakup seluruh sisa ruang sampel yang memiliki peluang komplementer.

Kejadian sukses adalah munculnya mata dadu 6 dengan peluang 0.1. Maka, kejadian gagal adalah semua kejadian selain mata dadu 6, yaitu P(Gagal) = 1 - P(Sukses) = 1 - 0.1 = 0.9. Pengecoh A (0.23) hanya mengambil satu sisi ganjil, pengecoh C (0.33) salah menjumlahkan dengan target, dan pengecoh D (0.77) hanya menjumlahkan sisi ganjil (3 x 0.23 = 0.69, atau mengabaikan sisi genap lain).

Kejadian majemuk dapat direduksi menjadi sistem biner dengan menjumlahkan probabilitas kejadian non-target.

Peluang Satu Urutan Spesifik

Perkalian probabilitas antar percobaan independen menghasilkan peluang kemunculan untuk satu susunan urutan yang sangat spesifik.

Diagram barisan lima kotak tindakan independen dengan dua sukses di awal dan tiga gagal di akhir dengan total probabilitas satu urutan 0.00729.

Ketika kita mengalikan probabilitas dari masing-masing hasil tindakan:

$$(0.1)^2 \times (0.9)^3 = 0.01 \times 0.729 = 0.00729$$

Nilai $0.00729$ ini merepresentasikan peluang terjadinya satu barisan kejadian persis, yaitu sukses di tindakan ke-$1$ dan ke-$2$, lalu gagal di tindakan ke-$3$, ke-$4$, dan ke-$5$ (pola: Sukses–Sukses–Gagal–Gagal–Gagal).

Beberapa siswa terjebak memilih Opsi A ($8,1\%$) karena menghitung $(0.9)^2 \times 0.1 = 0.081$. Perhitungan tersebut keliru secara struktural karena hanya memperhitungkan total $3$ kali tindakan ($2$ kali gagal dan $1$ kali sukses), padahal percobaan di dalam soal dilakukan sebanyak $5$ kali tindakan penuh. Namun, nilai $0.00729$ untuk $5$ tindakan pun belum menjadi jawaban akhir, karena dua kejadian sukses tersebut tidak harus selalu muncul di dua urutan pertama.

Kombinasi Untuk Semua Susunan

Peluang total diperoleh dengan mengalikan probabilitas satu urutan spesifik dengan jumlah kombinasi (banyaknya cara) urutan tersebut dapat terjadi.

Kejadian sukses ('Dapat 3') sebanyak dua kali tidak terikat pada posisi tindakan pertama dan kedua saja. Dua sukses tersebut bisa muncul di tindakan ke-$1$ dan ke-$5$, tindakan ke-$2$ dan ke-$4$, atau posisi lainnya. Untuk menghitung ada berapa banyak cara menempatkan $2$ posisi sukses di antara $5$ kali tindakan, kita menggunakan aturan kombinasi:

$$\binom{n}{k} = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5 - 2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

Terdapat tepat $10$ susunan unik yang masing-masing memiliki probabilitas identik sebesar $0.00729$. Karena setiap susunan saling lepas, kita menjumlahkan seluruh peluang tersebut (atau mengalikannya dengan $10$):

$$P(\text{Tepat 2 kali nilai 3}) = 10 \times 0.00729 = 0.0729 = 7,29\%$$

Perhitungan inilah yang membawa kita ke Opsi E ($7,29\%$) sebagai jawaban yang benar. Pilihan lain seperti Opsi B ($6,3\%$), Opsi C ($2,25\%$), dan Opsi D ($6,4\%$) timbul akibat kesalahan perhitungan aritmatika dan tidak memenuhi susunan pengelompokan yang tepat.

Dalam sebuah eksperimen dengan peluang sukses 0.2 dan gagal 0.8 yang diulang sebanyak 4 kali, peluang terjadinya tepat 1 kejadian sukses pada satu susunan urutan tertentu (misal: Sukses di percobaan pertama, sisanya Gagal) adalah 0.1024. Langkah matematis apa yang selanjutnya harus dilakukan untuk memperoleh peluang total munculnya tepat 1 sukses?

Menguadratkan nilai 0.1024 agar mengakomodasi sifat saling bebas dari keempat tindakan percobaan.
Membagi nilai 0.1024 dengan 4 karena ada empat percobaan yang membagi rata probabilitas kemunculan.
Mengalikan 0.1024 dengan 4 karena terdapat empat posisi penempatan berbeda untuk satu kejadian sukses.
Mengalikan nilai 0.1024 dengan 0.8 kembali untuk menjamin kepastian munculnya kegagalan pada percobaan.

Jawaban: Mengalikan 0.1024 dengan 4 karena terdapat empat posisi penempatan berbeda untuk satu kejadian sukses.

Nilai 0.1024 merupakan peluang untuk satu urutan tertentu (misalnya Sukses-Gagal-Gagal-Gagal, yaitu 0.2 x 0.8^3 = 0.1024). Karena kejadian sukses tunggal dapat berada di percobaan ke-1, ke-2, ke-3, atau ke-4 (banyaknya cara adalah C(4, 1) = 4), peluang total diperoleh dengan menjumlahkan seluruh susunan atau mengalikan 0.1024 dengan 4. Opsi A keliru karena perkalian kuadrat bukan cara menggabungkan susunan saling lepas, Opsi B keliru karena peluang susunan saling lepas dijumlahkan bukan dibagi, dan Opsi D keliru karena telah menghitung tiga kegagalan sebelumnya.

Total peluang binomial dihitung dengan mengalikan probabilitas susunan spesifik dengan koefisien kombinasinya.