Bongkar Aturan Cramer: Visualisasi Kolom Berwarna

Anatomi Pecahan Cramer

Dari soal cerita Andi dan Budi, kamu sudah hebat bisa mengubah sistem persamaan belanjanya menjadi persamaan matriks $AX = B$:

$\begin{pmatrix} 2 & 1 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12.000 19.000 \end{pmatrix}$

Matriks $A$ di depan itu kita sebut matriks koefisien (karena isinya angka-angka pengali $x$ dan $y$). Matriks ini adalah bintang utamanya. Nah, Aturan Cramer menggunakan matriks utama ini untuk mencari nilai $x$ dan $y$ lewat bentuk pecahan.

Rumus dasarnya selalu berbentuk pembagian dua determinan: $x = \frac{D_x}{D}$ dan $y = \frac{D_y}{D}$.

Perhatikan baik-baik huruf $D$ yang posisinya selalu ada di bawah (penyebut). $D$ ini adalah singkatan dari Determinan matriks koefisien asli (si matriks $A$). Kenapa di bawah? Anggap saja matriks asli ini adalah pondasi bangunannya.

Mau mencari $x$ ataupun mencari $y$, penyebutnya tidak pernah berubah, selalu $D$. Yang berubah-ubah nantinya hanyalah yang bagian atas (pembilang), yang akan kita bahas di halaman berikutnya.

Mencari $x$: Invasi Matriks Hasil

Sekarang kita urus bagian atasnya (pembilang), kita mulai dari mencari $x$ alias si $D_x$.

Bayangkan matriks koefisien utama kita $\begin{pmatrix} 2 & 1 3 & 2 \end{pmatrix}$ punya dua pilar yang kokoh:

• Pilar pertama (kolom kiri) yang berisi angka $2$ dan $3$ adalah milik si $x$ (kita sebut Pilar Biru).

• Pilar kedua (kolom kanan) yang berisi angka $1$ dan $2$ adalah milik si $y$ (kita sebut Pilar Hijau).

Lalu di seberang tanda sama dengan, ada matriks konstanta hasil belanjaan $\begin{pmatrix} 12.000 19.000 \end{pmatrix}$. Matriks hasil ini kita sebut Pasukan Oranye.

Untuk mencari $D_x$ (determinan untuk $x$), aturan mainnya sederhana: Gusur pilar milik $x$!

Pasukan Oranye $\begin{pmatrix} 12.000 19.000 \end{pmatrix}$ akan "menginvasi" dan menimpa Pilar Biru di kolom pertama. Sementara itu, Pilar Hijau di kolom kedua dibiarkan tidak tersentuh.

Matriks modifikasi inilah yang bentuknya menjadi $\begin{pmatrix} 12.000 & 1 19.000 & 2 \end{pmatrix}$.

Determinan dari matriks yang baru tergantikan inilah yang menjadi $D_x$, lalu diletakkan di posisi pembilang (di atas). Jangan lupa, yang di bawah (penyebut) tetap determinan matriks pondasi yang asli! Pernyataan II di soalmu sudah mematuhi pola ini persis, makanya dia BENAR.

Giliran $y$: Menimpa Kolom Kedua

Mencari $D_y$ menggunakan logika dan pola visual yang sama persis dengan $D_x$. Bedanya hanya target siapa yang digusur.

Karena $y$ adalah variabel kedua, maka Pasukan Oranye $\begin{pmatrix} 12.000 19.000 \end{pmatrix}$ sekarang akan menginvasi kolom kedua (Pilar Hijau). Sementara itu, pilar pertama milik $x$ yang berisi angka $2$ dan $3$ tetap menggunakan angka aslinya.

Matriks modifikasi ini bentuknya menjadi $\begin{pmatrix} 2 & 12.000 3 & 19.000 \end{pmatrix}$. Determinan dari matriks ini ditaruh di atas sebagai pembilang ($D_y$), dan di bawahnya tetap si pondasi asli ($D$).

Sekarang mari kita evaluasi lagi Pernyataan III dari soal awalmu: $y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 12.000 & 1 19.000 & 2 \end{vmatrix}}$

Kesalahan pada Pernyataan III itu fatal karena dua alasan:

1. Pondasi terbalik: Dia meletakkan matriks modifikasi yang berisi angka belasan ribu di bawah. Padahal, penyebut harus selalu matriks koefisien asli yang merupakan pondasi sistem.

2. Modifikasi ngawur: Di pembilang, dia malah membuat matriks ajaib $\begin{pmatrix} 2 & 3 1 & 2 \end{pmatrix}$ yang bukan matriks asli, juga bukan hasil menimpa kolom kedua dengan hasil.

Karena itu, instingmu waktu bilang "gak tahu mana pembilang dan penyebut" langsung terjawab di sini: yang punya hasil (ribuan) itu yang di atas, yang matriks awal itu yang di bawah. Pernyataan III murni SALAH.