Vektor Geometri: Merangkai Rute

Vektor sebagai Rute Game

Vektor geometri bisa dibayangkan sebagai rute perjalanan dari satu pos ke pos lain di sebuah peta. Pada peta belah ketupat $ABCD$, titik sudut $A$, $B$, $C$, dan $D$ berfungsi seperti pos penjagaan.

Diagram belah ketupat ABCD sebagai peta game dengan rute vektor u dan v

Vektor $\widehat{u}$ adalah instruksi rute: "Jalan dari pos $A$ ke pos $B$", sedangkan vektor $\widehat{v}$ adalah instruksi: "Jalan dari pos $A$ ke pos $D$". Karena bangun ini adalah belah ketupat, sisi-sisi yang berhadapan selalu sejajar, searah, dan sama panjang. Artinya, berjalan dari $B$ ke $C$ menempuh jarak dan arah yang persis sama dengan berjalan dari $A$ ke $D$, sehingga rute $BC$ juga bernilai $\widehat{v}$.

Karakter game ingin berjalan dari pos $D$ ke pos $C$. Berdasarkan peta rute belah ketupat di atas, apa bentuk vektor rute dari pos $D$ ke pos $C$?

  • $\widehat{u}$
  • $\widehat{v}$
  • $-\widehat{u}$
  • $\widehat{u} + \widehat{v}$

Jawaban: $\widehat{u}$

Sisi $DC$ sejajar, searah, dan sama panjang dengan sisi $AB$. Karena rute dari $A$ ke $B$ adalah vektor $\widehat{u}$, maka rute dari $D$ ke $C$ juga bernilai $\widehat{u}$. Opsi $\widehat{v}$ salah karena itu arah $AD$, $-\widehat{u}$ salah karena berlawanan arah, dan $\widehat{u} + \widehat{v}$ adalah rute diagonal $AC$.

Menentukan vektor pada sisi bangun datar yang sejajar dan searah.

Arah Mundur Berarti Minus

Berjalan berlawanan arah dengan arah panah vektor berarti mengubah tandanya menjadi minus. Jika rute dari pos $A$ ke pos $B$ adalah $\widehat{u}$, maka berjalan mundur dari pos $B$ kembali ke pos $A$ ditulis sebagai $-\widehat{u}$.

Bagaimana jika karakter ingin berpindah langsung dari pos $B$ ke pos $D$? Karena jalur lurus belum diketahui nilainya, karakter harus memanfaatkan rute yang sudah ada di peta: berjalan dari $B$ ke $A$, lalu lanjut dari $A$ ke $D$.

Secara matematis, rute gabungan ini ditulis:

$$BD = BA + AD = -\widehat{u} + \widehat{v} = \widehat{v} - \widehat{u}$$

Tanda minus di sini murni berarti berjalan melawan arah panah mula-mula, bukan operasi pengurangan aljabar tanpa arti geometri. Penelusuran rute ini membuktikan bahwa Opsi A bernilai benar.

Evaluasi rute-rute pada belah ketupat $ABCD$ berikut. Tentukan apakah tiap pernyataan Benar atau Salah.

  • Rute dari pos $D$ ke pos $A$ bernilai $-\widehat{v}$. — Benar
  • Rute dari pos $C$ ke pos $B$ bernilai $\widehat{u}$. — Salah

Pernyataan 1 Benar karena rute $A$ ke $D$ adalah $\widehat{v}$, sehingga arah sebaliknya dari $D$ ke $A$ bernilai $-\widehat{v}$. Pernyataan 2 Salah karena sisi $CB$ berlawanan arah dengan $DA$ dan $BC$ (yang bernilai $\widehat{v}$), sehingga rute dari $C$ ke $B$ bernilai $-\widehat{v}$, bukan $\widehat{u}$.

Menentukan tanda vektor saat arah gerak berlawanan dengan vektor acuan.

Rute Lewat Tengah

Titik pusat membagi diagonal tepat di tengah, sehingga panjang rute dan vektornya dikalikan setengah. Pada belah ketupat, kedua diagonal berpotongan di Titik Pusat $O$, yang membagi diagonal $BD$ maupun $AC$ menjadi dua segmen sama panjang.

Diagram pembagian ruas garis diagonal BD oleh titik pusat O menjadi dua bagian sama panjang

Jika karakter ingin bergerak dari pos $B$ hanya sampai ke pos tengah $O$, ia baru menempuh separuh dari keseluruhan rute $BD$:

$$BO = \frac{1}{2} BD$$

Karena sebelumnya kita sudah menemukan rute penuh $BD = \widehat{v} - \widehat{u}$, maka rute menuju pos tengah $O$ adalah:

$$BO = \frac{1}{2}(\widehat{v} - \widehat{u}) = \frac{1}{2}\widehat{v} - \frac{1}{2}\widehat{u}$$

Karakter berada di pos $A$ dan ingin menuju pos $C$, tetapi berhenti di pos tengah $O$. Jika rute penuh dari $A$ ke $C$ bernilai $\widehat{u} + \widehat{v}$, apa bentuk vektor rute dari $A$ ke $O$?

  • $\frac{1}{2}\widehat{u} + \frac{1}{2}\widehat{v}$
  • $2\widehat{u} + 2\widehat{v}$
  • $\widehat{u} + \widehat{v}$
  • $\frac{1}{2}\widehat{u} - \frac{1}{2}\widehat{v}$

Jawaban: $\frac{1}{2}\widehat{u} + \frac{1}{2}\widehat{v}$

Titik $O$ membagi diagonal $AC$ tepat di tengah, sehingga rute $AO = \frac{1}{2} AC$. Dengan $AC = \widehat{u} + \widehat{v}$, diperoleh $AO = \frac{1}{2}(\widehat{u} + \widehat{v}) = \frac{1}{2}\widehat{u} + \frac{1}{2}\widehat{v}$. Opsi B salah karena mengalikan 2 bukan membagi 2, opsi C adalah rute penuh, dan opsi D salah tanda operasi.

Menerapkan perkalian skalar setengah pada ruas garis dengan titik tengah.