Pola Eksponen: Tarik Pangkat Terkecil
Trik Dasar: Tarik Keluar yang Sama
Pola paling ampuh untuk menyederhanakan ekspresi pengurangan adalah mencari bagian yang sama persis lalu menariknya keluar dari kurung.
Bayangkan dua menara balok seperti pada gambar di atas: satu menara lebih tinggi, dan satu lagi lebih rendah. Jika balok ekstra di puncak menara yang tinggi disisihkan sejenak, kedua menara tersebut memiliki tinggi dasar yang sama persis.
Hal serupa menjadi inti dari faktorisasi aljabar:
Pada bentuk aljabar sederhana seperti $5x^2 - x$, kita melihat variabel $x$ hadir di kedua suku.
Kita bisa menarik keluar $x$, sehingga bentuknya berubah menjadi perkalian:
$$5x^2 - x = x(5x - 1)$$
Pola "tarik keluar bagian yang sama" ini adalah heuristik utama untuk mengubah bentuk selisih yang rumit menjadi perkalian yang mudah dibaca sifat-sifatnya.
Memecah Pangkat yang Lebih Besar
Suku eksponen yang memuat penjumlahan seperti $n+2$ bisa dipecah menjadi perkalian agar memunculkan bentuk basis yang seragam dengan suku pengurangnya.
Langkah pertama yang esensial adalah memanfaatkan sifat perkalian eksponen:
$$a^{m+n} = a^m \cdot a^n$$
Pada ekspresi $5^{n+2} - 5^n$, kita bisa memecah suku $5^{n+2}$ menjadi:
$$5^{n+2} = 5^n \cdot 5^2$$
Dengan memecah suku tersebut, ekspresi lengkapnya kini tampak sebagai:
$$5^n \cdot 5^2 - 5^n$$
Memecah pangkat ini ibarat memisahkan 2 balok ekstra dari menara tadi, sehingga bagian dasar $5^n$ sekarang tampak jelas di kedua sisi pengurangan.
Jika kita memiliki bentuk eksponen $7^{k+3}$ dan ingin memunculkan faktor $7^k$, bentuk pemecahan perkalian yang tepat adalah ....
- 7^k \cdot 7^3
- 7^k + 7^3
- 7^k \cdot 21
- 7^{3k}
Jawaban: 7^k \cdot 7^3
Berdasarkan sifat perkalian eksponen a^{m+n} = a^m \cdot a^n, suku 7^{k+3} dipecah menjadi perkalian basis yang sama, yaitu 7^k \cdot 7^3. Opsi B keliru mengubah sifat eksponen jadi penjumlahan basis. Opsi C keliru mengalikan basis dengan pangkat (7 \times 3 = 21). Opsi D keliru mengubah penjumlahan eksponen menjadi perkalian pangkat.
Memecah bentuk pangkat yang lebih tinggi menjadi bentuk perkalian dengan eksponen terkecil menggunakan sifat perkalian eksponen.
Mengeksekusi Pola Trik
Ketika dua bagian suku pengurang memiliki faktor eksponen yang sama, kita bisa menariknya keluar kurung dan langsung menghitung konstanta sisanya.
Mari kita tuliskan kembali bentuk yang sudah dipecah sebelumnya:
$$5^n \cdot 5^2 - 5^n$$
Karena kedua suku sama-sama memiliki faktor $5^n$, tarik keluar $5^n$ sebagai pengali bersama:
$$5^n(5^2 - 1)$$
Sekarang, tuntaskan perhitungan bilangan bulat di dalam kurung:
Nilai dari $5^2$ adalah $25$.
Maka, $25 - 1 = 24$.
Hasil penyederhanaan akhirnya menjadi:
$$24 \cdot 5^n$$
Bentuk paling ekuivalen dari ekspresi $3^{m+2} - 3^m$ setelah difaktorkan secara tuntas adalah ....
- 3^m(9)
- 3^m(8)
- 3^m(5)
- 3^m(3)
Jawaban: 3^m(8)
Bentuk 3^{m+2} - 3^m dipecah menjadi 3^m \cdot 3^2 - 3^m. Menarik keluar 3^m menyisakan (3^2 - 1) di dalam kurung. Karena 3^2 = 9 dan 9 - 1 = 8, hasil akhirnya adalah 3^m(8). Opsi A salah karena lupa mengurangkan 1. Opsi C salah karena mengira 3^2 = 6 lalu 6 - 1 = 5. Opsi D salah dalam mengevaluasi selisih pangkat.
Mengeksekusi penarikan faktor eksponen terkecil dan menghitung sisa pengurang dalam kurung.