Membongkar Rumus Median Data Kelompok

Mencari Posisi Median

Median dari 60 data berkelompok berada di sekitar data ke-30, yang posisinya bisa dilacak lewat frekuensi kumulatif.

Bayangkan 60 hari pengamatan curah hujan sebagai antrean 60 orang yang berbaris rapi dari curah hujan paling kering (paling rendah) sampai paling basah (paling tinggi). Median adalah nilai yang tepat membagi antrean menjadi dua bagian sama banyak. Untuk total $n = 60$ data, posisi tengah berada pada data ke-$\frac{1}{2}n$, yaitu data ke-$30$.

Dalam data berkelompok, data tidak dicatat satu per satu melainkan dikelompokkan ke dalam beberapa rentang interval (kita sebut saja "gerbong" antrean). Kita bisa melacak di gerbong mana orang ke-30 berdiri menggunakan frekuensi kumulatif ($fk$):

• Gerbong $10 - 19$: diisi oleh 8 orang pertama ($fk = 8$).

• Gerbong $20 - 29$: diisi oleh 12 orang berikutnya, sehingga total yang sudah mengantre adalah $8 + 12 = 20$ orang ($fk = 20$).

• Gerbong $30 - 39$: diisi oleh 20 orang berikutnya, mencakup orang ke-21 hingga orang ke-40 ($fk = 40$).

Karena target kita adalah orang ke-30, maka orang tersebut pasti berada di dalam gerbong $30 - 39$. Interval inilah yang kita sebut sebagai Kelas Median.

Kenapa Pakai Tepi Bawah?

Tepi bawah digunakan agar tidak ada celah kosong antar kelas interval pada data yang kontinu.

Pada penyajian tabel atau histogram, interval kelas tertulis $20 - 29$ lalu langsung melompat ke $30 - 39$. Di atas kertas, terlihat ada celah kosong selebar 1 satuan antara angka 29 dan 30. Padahal, curah hujan adalah besaran fisis yang bersifat kontinu—nilainya bisa saja $29{,}3\text{ mm}$ atau $29{,}8\text{ mm}$. Ke mana angka-angka di antara 29 dan 30 tersebut harus dimasukkan jika kelasnya terpisah?

Agar tidak ada data yang terbuang di celah kosong, batas atas kelas sebelumnya dan batas bawah kelas berikutnya diperlebar sebesar $0{,}5$ hingga keduanya bersentuhan tepat di angka $29{,}5$. Angka pertemuan inilah yang dinamakan Tepi Bawah ($Tb$).

Ketika kita melangkah masuk ke dalam kelas median $30 - 39$, titik awal (start) perhitungan kita bukan dimulai dari angka 30, melainkan dari tepi sebenarnya, yaitu $29{,}5$. Jika kita memaksakan memakai batas bawah asli (30), seluruh pergeseran nilai akan bergeser naik sebesar $0{,}5$, menghasilkan nilai keliru $35{,}0$ seperti pada Opsi C.

Logika Pecahan Interpolasi

Pecahan dalam rumus median adalah cara menghitung proporsi jarak yang harus ditempuh di dalam kelas median.

Sekarang kita sudah berdiri di pintu masuk gerbong kelas median, tepat pada garis tepi bawah $29{,}5$. Di belakang kita, sudah ada 20 orang yang mengantre dari kelas-kelas sebelumnya ($fk = 20$). Target kita adalah menemukan orang ke-30. Artinya, kita masih perlu melangkah masuk melewati:

$$30 - 20 = 10\text{ orang lagi}$$

Di dalam gerbong kelas $30 - 39$ ini, total ada 20 orang ($f_m = 20$). Kita mengasumsikan bahwa ke-20 orang tersebut berdiri berbaris dengan jarak renggang yang sama rata sepanjang gerbong. Asumsi persebaran merata ini dikenal sebagai interpolasi linear.

Karena kita butuh mencari orang ke-10 dari total 20 orang di gerbong tersebut, proporsi jarak yang harus kita tempuh adalah:

$$\text{Proporsi} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\text{ bagian gerbong}$$

Panjang gerbong (panjang kelas, $c$) dari $29{,}5$ hingga $39{,}5$ adalah $10$. Maka, jarak fisik yang harus kita lewati dari pintu masuk adalah:

$$\text{Jarak tempuh} = \frac{1}{2} \times 10 = 5$$