Barisan di Dalam Barisan: Membedah Suku Genap
Ekstrak Informasi dari S_n
Suku pertama dan beda barisan dapat digali dari rumus jumlah deret dengan menghitung $S_1$ dan $S_2$.
Bayangkan sebuah deret seperti Gedung Bertingkat. Setiap lantai mewakili Indeks Suku, dan banyaknya penghuni di lantai tersebut adalah nilai Suku ($U_n$). Sementara itu, Jumlah Suku ($S_n$) bukanlah penghuni satu lantai tertentu, melainkan akumulasi total penghuni dari lantai paling dasar (lantai 1) sampai lantai ke-$n$.
Pada ilustrasi di atas, kita melihat bagaimana isi per lantai berbeda dari akumulasi total. Jika rumus akumulasi yang diketahui adalah $S_n = n^2 - 6n$, kita bisa membongkar isi tiap lantai secara bertahap:
Lantai 1 ($S_1$): Total akumulasi hingga lantai 1 hanyalah penghuni lantai 1 itu sendiri ($U_1$ atau suku pertama $a$).
$$S_1 = 1^2 - 6(1) = 1 - 6 = -5 \implies a = -5$$
Akumulasi sampai Lantai 2 ($S_2$): Jumlah penghuni lantai 1 ditambah lantai 2.
$$S_2 = 2^2 - 6(2) = 4 - 12 = -8$$
Mencari Lantai 2 Murni ($U_2$): Kurangkan akumulasi 2 lantai dengan lantai 1.
$$U_2 = S_2 - S_1 = -8 - (-5) = -3$$
Mencari Beda ($b$): Selisih tetap antar dua suku berurutan adalah:
$$b = U_2 - U_1 = -3 - (-5) = 2$$
Jika total akumulasi bakteri setelah $n$ jam dinyatakan oleh $S_n = 3n^2 - n$, bagaimana cara menghitung banyak penambahan bakteri yang terjadi MURNI pada jam ke-3 saja?
- Menghitung nilai $S_3$ langsung dari rumus deret
- Membagi nilai $S_3$ dengan durasi waktu 3 jam
- Mengurangkan nilai $S_3$ dengan nilai $S_2$ deret
- Mengurangkan nilai $S_3$ dengan nilai $S_1$ deret
Jawaban: Mengurangkan nilai $S_3$ dengan nilai $S_2$ deret
Nilai suku tunggal ke-n selalu didapatkan dengan mengurangi akumulasi sampai suku ke-n dengan akumulasi hingga suku sebelumnya, yaitu $U_n = S_n - S_{n-1}$. Jadi untuk jam ke-3 saja, nilainya adalah $S_3 - S_2$. Pengecoh A salah karena $S_3$ mencakup total jam ke-1 hingga ke-3; pengecoh B salah karena menganggap rata-rata; pengecoh D salah karena menyisakan gabungan jam ke-2 dan ke-3.
Cara mendapatkan nilai satu suku spesifik jika diketahui rumus akumulasinya (S_n).
Trik Identifikasi Koefisien S_n
Bentuk $S_n$ kuadratik $An^2 + Bn$ pada barisan aritmatika menyembunyikan beda dan suku pertama di dalam koefisiennya.
Penjumlahan deret aritmatika standar berasal dari rumus $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b]$. Jika kita bongkar tanda kurungnya secara aljabar:
$$S_n = \frac{n}{2} [2a + bn - b] = \left(\frac{b}{2}\right)n^2 + \left(a - \frac{b}{2}\right)n$$
Perhatikan bahwa suku berderajat dua selalu memiliki pengali $\frac{b}{2}$. Artinya, koefisien dari $n^2$ selalu bernilai setengah dari beda ($b$).
Pada soal kita, $S_n = 1n^2 - 6n$:
Koefisien $n^2$ adalah $1$, sehingga langsung didapat $b = 2 \times 1 = 2$.
Jumlah kedua koefisien adalah $1 + (-6) = -5$, sehingga $a = -5$.
Trik identifikasi ini sangat efektif untuk memeriksa kebenaran langkah hitung manualmu tanpa perlu menghitung eliminasi panjang.
Sebuah barisan aritmatika memiliki rumus jumlah suku $S_n = 4n^2 + 5n$. Berapakah nilai beda ($b$) antar suku pada barisan tersebut?
- $2$ karena koefisien kuadrat dibagi dua
- $4$ karena sama dengan koefisien suku kuadrat
- $5$ karena mengambil koefisien suku linear
- $8$ karena bernilai dua kali koefisien kuadrat
Jawaban: $8$ karena bernilai dua kali koefisien kuadrat
Pada barisan aritmatika, koefisien dari $n^2$ pada $S_n$ bernilai $\frac{b}{2}$. Karena koefisien $n^2$ adalah 4, maka beda barisan adalah $b = 2 \times 4 = 8$. Pengecoh B salah karena mengabaikan pembagi dua; pengecoh A salah karena membalik operasi menjadi bagi dua; pengecoh C salah karena koefisien $n$ merupakan $a - \frac{b}{2}$, bukan beda barisan.
Menemukan beda (b) dari fungsi kuadrat S_n melalui koefisien derajat duanya.
Barisan Baru: Berapa Suku Sebenarnya?
Banyaknya suku dalam barisan $U_2, U_4, U_6, \dots, U_{2n}$ adalah $n$, bukan $2n$.
Kita diminta mencari jumlahan dari barisan suku-suku genap: $U_2 + U_4 + U_6 + \dots + U_{2n}$. Jebakan yang paling sering muncul adalah menganggap jumlah sukunya sebanyak $2n$ hanya karena angka terakhirnya tertulis $2n$.
Angka $2n$ pada $U_{2n}$ hanyalah nomor lantai tertinggi di Gedung Bertingkat, bukan banyaknya lantai yang kita singgahi. Karena kita hanya menaiki lantai genap dan melompati lantai ganjil, lantai yang kita kunjungi hanya berjumlah separuh dari total nomor lantai.
Simulasi di atas membuktikan bahwa jika batas akhir lantai adalah $2n$, banyaknya suku genap yang terpilih selalu tepat $n$ buah:
Jika $n = 1$, barisannya hanya $U_2$ (ada $1$ suku).
Jika $n = 2$, barisannya $U_2, U_4$ (ada $2$ suku, indeks akhir $4$).
Jika $n = 3$, barisannya $U_2, U_4, U_6$ (ada $3$ suku, indeks akhir $6$).
Dalam sebuah antrean yang terdiri dari 50 orang (indeks 1 sampai 50), petugas hanya memanggil orang dengan nomor urut ganjil ($1, 3, 5, \dots, 49$). Berapakah total orang yang dipanggil oleh petugas tersebut?
- $24$ orang karena pengurangan bilangan batas genap
- $25$ orang karena setengah dari nomor antrean adalah ganjil
- $49$ orang karena mengikuti angka antrean ganjil terakhir
- $50$ orang karena total keseluruhan nomor antrean yang ada
Jawaban: $25$ orang karena setengah dari nomor antrean adalah ganjil
Antrean dari 1 hingga 50 memuat bilangan ganjil dan genap yang berselang-seling secara rata. Nomor ganjil ada sebanyak $\frac{50}{2} = 25$ orang. Pengecoh C salah karena menganggap nomor antrean terakhir sebagai banyak orang; pengecoh D salah karena menghitung seluruh nomor tanpa menyaring nomor genap; pengecoh A keliru dalam pembagian rentang.
Menentukan banyaknya suku bila indeks diloncati secara berpola teratur.