Peluang Koin: Dari 1 ke 6 Koin

Langkah 1: Total Kemungkinan

Total kemungkinan dari pelemparan koin dihitung dengan mengalikan angka 2 sebanyak jumlah koin.

Saat melempar $1$ koin, hanya ada $2$ kemungkinan hasil: Angka ($A$) atau Gambar ($G$). Ketika melempar $2$ koin, kemungkinannya menjadi $2 \times 2 = 4$ hasil ($AA, AG, GA, GG$).

Bayangkan kita sedang mengisi barisan slot kosong. Karena ada $6$ koin yang dilempar, kita memiliki $6$ slot berurutan. Setiap slot koin secara independen dapat terisi oleh salah satu dari $2$ pilihan ($A$ atau $G$).

Dengan aturan perkalian, total seluruh kemungkinan atau Ruang Sampel untuk $6$ koin adalah:

$$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6 = 64$$

Langkah 2: Susunan Kejadian

Banyaknya cara menyusun kemunculan angka dan gambar yang spesifik dihitung menggunakan rumus permutasi unsur sama.

Target kita adalah mencari Kejadian munculnya tepat $3$ Angka ($A$) dan $3$ Gambar ($G$). Hasilnya bisa berupa urutan seperti $AAAGGG$, $AAGAGG$, $GAGAGA$, dan seterusnya. Menghitung susunan ini satu per satu secara manual tentu memakan waktu dan rentan terlewat.

Kembali ke analogi slot kosong: kita mempunyai $6$ slot dan ingin menaruh $3$ huruf $A$ serta $3$ huruf $G$ di dalamnya. Karena semua huruf $A$ tidak bisa dibedakan satu sama lain (identik), dan semua huruf $G$ juga identik, kita gunakan rumus permutasi dengan unsur yang sama:

$$\frac{n!}{k_1! \cdot k_2!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!}$$

Mari kita hitung:

$$\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3 \times 2 \times 1 \times 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{6} = 20$$

Langkah 3: Menghitung Peluang

Peluang didapat dengan membagi banyak susunan kejadian dengan total kemungkinan.

Setelah mendapatkan dua komponen utama, kita tinggal memasukkannya ke definisi dasar Peluang:

$$\text{Peluang} = \frac{\text{Banyak Kejadian}}{\text{Ruang Sampel}} = \frac{20}{64}$$

Kita sederhanakan pecahan tersebut dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $4$:

$$\frac{20 \div 4}{64 \div 4} = \frac{5}{16}$$

Hasil ini tepat sesuai dengan Opsi A.