Menyederhanakan Deret Akar Bertingkat

Kenapa Akar Perlu Dirasionalkan?

Pecahan dengan akar di penyebut dapat diubah menjadi bentuk tanpa akar di bawah dengan mengalikannya dengan bentuk sekawan.

Bentuk akar pada penyebut biasanya menyulitkan operasi aljabar dan penjumlahan berantai. Untuk membersihkan akar dari penyebut, kita menggunakan konsep merasionalkan, yaitu mengubah penyebut menjadi bilangan rasional tanpa mengubah nilai total pecahan tersebut.

Kuncinya ada pada perkalian selisih kuadrat:

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Ketika suatu penjumlahan akar $\sqrt{A} + \sqrt{B}$ dikalikan dengan bentuk pengurangnya $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ (yang disebut sebagai sekawan-nya), seluruh tanda akar otomatis kuadrat dan hilang:

$$(\sqrt{A} + \sqrt{B})(\sqrt{A} - \sqrt{B}) = (\sqrt{A})^2 - (\sqrt{B})^2 = A - B$$

Sebagai contoh sederhana, perhatikan pecahan $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$. Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawannya, yaitu $\sqrt{2} - 1$:

$$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - (1)^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$$

Pecahan yang tadinya rumit kini berubah menjadi bentuk pengurangan bilangan biasa tanpa ada penyebut lagi.

Merapikan Suku-suku di Soal

Setiap pecahan pada deret soal dapat diubah menjadi bentuk pengurangan akar yang lebih rapi tanpa pecahan.

Mari kita amati pola umum suku ke-$n$ dari deret pada soal kita:

$$u_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$$

Sekarang, kita terapkan teknik merasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari penyebutnya, yaitu $\sqrt{n} - \sqrt{n+1}$:

$$\begin{aligned} u_n &= \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} \times \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}} \\ &= \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{(\sqrt{n})^2 - (\sqrt{n+1})^2} \\ &= \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{n - (n+1)} \\ &= \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{-1} \end{aligned}$$

Karena penyebutnya bernilai $-1$, tanda pada pembilang berbalik arah:

$$\frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{-1} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$$

Dengan rumus rapi ini, kita bisa menyederhanakan suku-suku pada soal:

• Suku ke-$1$: $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{1}$

• Suku ke-$2$: $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

• Suku ke-$99$: $\frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} = \sqrt{100} - \sqrt{99}$

Pola Saling Coret (Deret Teleskopik)

Deret panjang yang memuat pola tambah-kurang berurutan akan saling menghilangkan di bagian tengah.

Bayangkan kamu diminta menjumlahkan deret kecil berikut:

$$(2 - 1) + (3 - 2) + (4 - 3)$$

Jika kita menghitung satu per satu di dalam kurung: $1 + 1 + 1 = 3$. Namun, perhatikan apa yang terjadi jika tanda kurungnya dibuka:

$$-1 + 2 - 2 + 3 - 3 + 4$$

Angka $+2$ dan $-2$ saling meniadakan menjadi $0$. Begitu pula $+3$ dan $-3$ saling meniadakan menjadi $0$. Kejadian ini bekerja persis seperti efek domino: suku-suku di bagian tengah saling menjatuhkan secara berurutan, sehingga yang tersisa hanyalah angka paling depan ($-1$) dan angka paling belakang ($+4$):

$$-1 + 4 = 3$$

Deret dengan sifat saling membatalkan seperti ini disebut Deret Teleskopik (seperti teropong lipat yang tabung-tabung tengahnya saling masuk dan memendek).

Eksplorasi simulasi di atas dengan menggeser slider: perhatikan bahwa berapa pun panjang sukunya, seluruh isi bagian tengah selalu habis saling coret!