Grafik Fungsi, Pertidaksamaan, dan Batas Domain

Apa Artinya 'Terletak di Atas'?

Pernahkah kamu membayangkan apa yang sebenarnya terjadi ketika soal matematika menyebut sebuah grafik "terletak di atas" grafik lainnya?

Secara visual pada bidang Cartesius, sumbu tegak ($y$) mewakili nilai ketinggian atau output suatu fungsi. Jika kita berdiri di posisi horizontal ($x$) yang sama dan melihat dua grafik yang berbeda, grafik yang berada lebih tinggi secara fisik memiliki nilai $y$ yang lebih besar.

Ketika dua garis lurus bersilangan:

Titik perpotongan adalah saat ketinggian keduanya persis seimbang: $g(x) = f(x)$.
Di salah satu sisi perpotongan itu, salah satu garis pasti naik menyalip ke atas ($g(x) > f(x)$).
Di sisi sebaliknya, garis tersebut justru tertinggal di bawah ($g(x) < f(x)$).

Kini, pertanyaan berikutnya: bagaimana jika soal membatasi nilai $x$ hanya pada rentang tertentu?

Domain: Pagar Arena Pertandingan

Dalam soal matematika, sering kali kita tidak menguji fungsi untuk seluruh bilangan real $\mathbb{R}$, melainkan dibatasi oleh domain tertentu. Pada soal kita, domainnya adalah $-1 < x < 2$.

Domain ini berperan persis seperti pagar arena. Kita tidak peduli siapa yang "menang" (lebih tinggi) di $x = 10$ atau $x = -5$. Fokus pengujian kita hanyalah area di dalam pagar tersebut.

Diagram Cartesius dengan area domain yang disorot dari x = -1 hingga x = 2, menunjukkan garis yang selalu di atas vs garis yang menyilang ke bawah.

Sebuah klaim bahwa "grafik $g(x)$ berada di atas $f(x)$ pada domain $-1 < x < 2$" menuntut syarat mutlak:

Hubungan $g(x) > f(x)$ harus terpenuhi untuk setiap titik di dalam interval tersebut tanpa terkecuali.
Jika ada satu titik saja (atau sepotong interval kecil) di dalam pagar domain di mana $g(x) \le f(x)$, maka pernyataan tersebut langsung dinyatakan SALAH.

Mari kita uji pemahamanmu tentang aturan main domain ini lewat kuis kilat berikut:

Diberikan domain 0 < x < 4. Sebuah fungsi g(x) terbukti memenuhi g(x) > f(x) hanya pada rentang 1 < x < 4, sedangkan pada rentang 0 < x <= 1 berlaku g(x) <= f(x). Apakah pernyataan 'g(x) terletak di atas f(x) pada domain 0 < x < 4' bernilai Benar atau Salah?

Pernyataan bernilai benar karena nilai rata-rata g(x) lebih tinggi daripada rata-rata f(x) pada interval tersebut.
Pernyataan bernilai salah karena ada sebagian nilai x pada interval tersebut yang membuat g(x) bernilai lebih kecil dari f(x).
Pernyataan bernilai benar karena g(x) berhasil berada di atas f(x) pada titik tengah interval yaitu x = 2.
Pernyataan bernilai salah karena kedua grafik harus memiliki gradien kemiringan yang sama persis agar bisa dibandingkan.

Jawaban: Pernyataan bernilai salah karena ada sebagian nilai x pada interval tersebut yang membuat g(x) bernilai lebih kecil dari f(x).

Klaim 'selalu di atas pada suatu domain' menuntut g(x) > f(x) berlaku di 100% domain tersebut. Karena pada rentang 0 < x <= 1 fungsi g(x) tidak lebih besar dari f(x), terdapat contoh penyangkal di dalam domain yang membuat pernyataan tersebut SALAH.

Klaim bahwa g(x) terletak di atas f(x) pada suatu domain bernilai benar jika dan hanya jika g(x) > f(x) terpenuhi untuk seluruh nilai x di dalam domain tersebut.

Pembuktian Aljabar: Mengadu Interval

Sekarang kita padukan pemahaman aljabar dan domain. Cara paling efektif menguji apakah suatu grafik selalu di atas grafik lain adalah dengan mengadu interval penyelesaian terhadap domain soal.

Syaratnya tegas: Solusi pertidaksamaan $g(x) > f(x)$ harus menyelimuti (memuat seutuhnya) interval domain soal.

Mari kita uji dua fungsi pertama dari soal:

1. Menguji $k(x) = 3x + 2$ melawan $f(x) = 2x + 2$

Kita susun pertidaksamaannya:

Kurangkan $2$ dari kedua ruas, lalu kurangkan $2x$:

Artinya, $k(x)$ berada di atas $f(x)$ hanya ketika $x > 0$. Sekarang bandingkan dengan domain arena kita: $-1 < x < 2$.

Dua garis bilangan bertumpuk membandingkan domain soal interval -1 sampai 2 dengan solusi pertidaksamaan x lebih besar dari 0.

Terlihat jelas bahwa pada interval $-1 < x \le 0$, garis $k(x)$ kalah tinggi (berada di bawah atau sama dengan $f(x)$). Ambil contoh titik uji $x = -0{,}5$:

$f(-0{,}5) = 2(-0{,}5) + 2 = 1$
$k(-0{,}5) = 3(-0{,}5) + 2 = 0{,}5$

Karena $0{,}5 < 1$, klaim untuk $k(x)$ terbukti SALAH.

2. Menguji $l(x) = 2x + 5$ melawan $f(x) = 2x + 2$

Kita susun pertidaksamaannya:

Kurangkan $2x$ dari kedua ruas:

Perhatikan hasilnya! Variabel $x$ saling menghilangkan dan tersisa pernyataan $5 > 2$, yang selalu bernilai benar untuk nilai $x$ berapapun di alam semesta bilangan real ($\mathbb{R}$).

Mari uji pemahamanmu tentang teknik perbandingan aljabar ini:

Diberikan f(x) = 2x + 4 pada domain 0 < x < 5. Manakah kesimpulan yang tepat mengenai klaim bahwa garis h(x) = 3x + 1 terletak di atas f(x) pada domain tersebut?

Pernyataan bernilai benar karena garis h(x) memiliki konstanta yang bernilai positif.
Pernyataan bernilai benar karena solusi pertidaksamaannya adalah x > 0 yang beririsan dengan domain.
Pernyataan bernilai salah karena solusi x > 3 tidak mencakup bagian domain yang berada di antara 0 dan 3.
Pernyataan bernilai salah karena kedua garis berpotongan tepat di titik x = 5 di luar domain.

Jawaban: Pernyataan bernilai salah karena solusi x > 3 tidak mencakup bagian domain yang berada di antara 0 dan 3.

Selesaikan pertidaksamaan h(x) > f(x): 3x + 1 > 2x + 4 menghasilkan x > 3. Artinya, h(x) berada di atas f(x) hanya jika x > 3. Karena domain yang diminta adalah 0 < x < 5, pada rentang 0 < x <= 3 fungsi h(x) tidak berada di atas f(x). Solusi x > 3 gagal menyelimuti seluruh domain 0 < x < 5, sehingga klaim bernilai SALAH.

Suatu fungsi linear berada di atas fungsi linear lain pada domain jika interval penyelesaian pertidaksamaannya mencakup seluruh interval domain tersebut.