Membongkar Deret Ikan Bersiklus
Membaca Siklus Pembagian Petak
Ketika $30$ petak dibagi secara bergilir kepada $3$ jenis ikan, setiap jenis ikan akan mendapat porsi petak yang sama banyak.
Bayangkan $30$ petak kolam ini seperti $30$ hari berurutan, dan kamu memiliki $3$ celengan berbeda yang diberi nama: Nila, Gurame, dan Lele. Setiap hari, kamu hanya mengisi satu celengan secara bergantian:
Hari ke-$1$ jatah celengan Nila,
Hari ke-$2$ jatah celengan Gurame,
Hari ke-$3$ jatah celengan Lele,
Hari ke-$4$ kembali lagi ke Nila, dan pola siklus ini terus berulang.
Karena ada $30$ petak dan giliran dibagi rata ke $3$ jenis ikan tanpa terputus, masing-masing jenis ikan mendapat giliran tepat sebanyak:
Artinya, ikan Gurame menempati tepat $10$ petak dan ikan Lele juga menempati tepat $10$ petak. Kita tidak perlu menjumlahkan seluruh $30$ petak sekaligus secara rumit, melainkan cukup memeriksa masing-masing kelompok petak tersebut.
Menemukan Lompatan Ikan
Karena jatah petak untuk satu jenis ikan melompat melewati petak jenis lain, penambahan jumlah ikannya juga ikut melompat dari penambahan aslinya.
Aturan dasar tambak Pak Danu menyatakan bahwa isi petak selalu bertambah $2$ ekor setiap kita maju satu nomor petak. Jadi:
Petak $1$ berisi $10$ ekor,
Petak $2$ berisi $12$ ekor,
Petak $3$ berisi $14$ ekor,
Petak $4$ berisi $16$ ekor,
Petak $5$ berisi $18$ ekor, dan
Petak $6$ berisi $20$ ekor.
Sekarang perhatikan apa yang terjadi pada celengan Gurame (petak nomor $2, 5, 8, \dots$). Di petak $2$, Gurame memiliki $12$ ekor ikan. Kapan giliran Gurame tiba lagi? Baru di petak $5$.
Untuk sampai ke petak berikutnya milik Gurame, kita harus melangkah maju sebanyak $3$ petak. Karena setiap satu langkah maju menambah $2$ ekor, maka lompatan $3$ langkah sekaligus memberikan tambahan:
Akibatnya, khusus pada deretan petak Gurame, jumlah ikannya membentuk barisan aritmetika baru dengan penambahan tetap sebesar $+6$ ekor: $12, 18, 24, \dots$ dan seterusnya.
Hal yang sama berlaku persis untuk petak Lele (petak nomor $3, 6, 9, \dots$). Petak pertamanya (petak $3$) berisi $14$ ekor, dan petak berikutnya (petak $6$) berisi $20$ ekor. Penambahannya juga konsisten melompat sebesar $+6$ ekor setiap gilirannya tiba.
Dalam sebuah antrean donasi, panitia membagikan buku. Orang ke-1 mendapat 5 buku, orang ke-2 mendapat 8 buku, orang ke-3 mendapat 11 buku (selalu bertambah 3 buku setiap orang). Panitia hanya mendata penerima berbaju merah yang berada di urutan ke-2, ke-6, ke-10, dan seterusnya. Berapa penambahan jumlah buku antar-penerima berbaju merah yang berurutan?
- 3 buku
- 9 buku
- 12 buku
- 15 buku
Jawaban: 12 buku
Urutan penerima berbaju merah adalah ke-2, ke-6, ke-10, dst. Selisih langkah antar-penerima berbaju merah adalah 6 - 2 = 4 langkah. Karena setiap 1 urutan penambahannya selalu tetap 3 buku, maka lompatan sejauh 4 langkah menghasilkan penambahan sebesar 4 × 3 = 12 buku. Opsi A keliru karena hanya melihat selisih antar-urutan asli tanpa memperhitungkan lompatan giliran. Opsi B keliru karena salah menghitung jarak langkah (mengira 3 langkah). Opsi D keliru karena menjumlahkan nilai awal dengan selisih langkah.
Menentukan beda/selisih pada sub-deret jika diketahui siklus lompatannya.
Total Isi Celengan Tanpa Menghitung Satu per Satu
Menjumlahkan isi barisan yang penambahannya beraturan bisa dilakukan cepat dengan menjumlahkan ujung-ujungnya lalu dikalikan setengah dari jumlah petak.
Kita sudah mengetahui bahwa kelompok Gurame menempati $10$ petak dengan petak pertama berisi $12$ ekor ikan. Karena dari petak pertama menuju petak ke-$10$ terjadi $9$ kali lompatan penambahan sebesar $+6$, maka isi petak Gurame yang terakhir adalah:
Daripada menjumlahkan $12 + 18 + 24 + \dots + 66$ satu per satu secara manual yang berisiko salah hitung, gunakan teknik memasangkan ujung-ujungnya:
Pasangan pertama dan terakhir: $12 + 66 = 78$
Pasangan kedua dan kedua terakhir: $18 + 60 = 78$
Setiap pasangan selalu menghasilkan nilai yang sama, yaitu $78$. Karena ada $10$ petak, kita memiliki tepat $\frac{10}{2} = 5$ pasangan. Total seluruh ikan Gurame di tambak adalah:
Logika yang persis sama kita terapkan pada kelompok Lele:
Petak pertama Lele: $14$ ekor.
Petak terakhir Lele: bertambah $54$ ekor dari nilai awalnya, yaitu $14 + 54 = 68$ ekor.
Nilai per pasangan: $14 + 68 = 82$.
Total populasi Lele: ada $5$ pasangan, sehingga $5 \times 82 = 410$ ekor.