Fungsi Rekursif: Membaca Indeks dan Eksekusi

Membaca Indeks Fungsi

Pada fungsi rekursif $f(x + 1) = 3f(x) - 1$, $x$ mewakili nomor suku dasar, sehingga untuk mencari $f(2)$ kita harus memasukkan $x = 1$, bukan $x = 2$.

Diagram alir mesin bertahap fungsi rekursif mengolah f 1 menjadi f 2 lalu berputar kembali.

Sebuah fungsi rekursif bekerja persis seperti mesin bertahap di pabrik. Bahan baku awal $f(1) = 2$ dimasukkan ke dalam mesin rumus untuk diproses. Aturan pemrosesannya adalah ruas kanan $3f(x) - 1$, sedangkan ruas kiri $f(x + 1)$ merupakan hasil produk yang keluar.

Perhatikan hubungan indeks pada notasi tersebut:

Ruas kiri $f(x + 1)$ adalah suku target (produk yang ingin dicari).
Ruas kanan $f(x)$ adalah suku pendahulu (bahan baku yang sudah diketahui).

Nilai $x$ yang harus kita lakukan substitusi selalu satu angka lebih kecil dari indeks suku target. Jadi, agar ruas kiri menghasilkan $f(2)$, kita tetapkan:

$$x + 1 = 2 \implies x = 1$$

Dengan memasukkan $x = 1$, persamaannya menjadi:

$$f(2) = 3f(1) - 1 = 3(2) - 1 = 5$$

Nilai $f(2) = 5$ inilah yang kemudian siap dijadikan bahan baku untuk langkah berikutnya.

Misalkan diberikan rumus fungsi rekursif $f(x + 1) = 5f(x) + 2$. Jika kamu ingin mencari nilai suku $f(7)$, nilai $x$ yang harus kamu substitusikan ke dalam rumus tersebut adalah ....

x = 6, sehingga persamaannya menggunakan nilai f(6)
x = 7, sehingga persamaannya menggunakan nilai f(7)
x = 8, sehingga persamaannya menggunakan nilai f(8)
x = 5, sehingga persamaannya menggunakan nilai f(5)

Jawaban: x = 6, sehingga persamaannya menggunakan nilai f(6)

Pada notasi f(x + 1), indeks target adalah hasil dari x + 1. Agar ruas kiri menjadi f(7), kita harus menetapkan x + 1 = 7, yang menghasilkan nilai x = 6. Akibatnya, ruas kanan menggunakan f(6). Memilih x = 7 adalah kekeliruan karena langsung memasukkan angka target ke variabel x sehingga menghasilkan f(8), sedangkan memilih x = 8 justru menambahkan angka 1 ke target.

Memilih nilai x yang tepat untuk memperoleh indeks target pada notasi fungsi f(x+1).

Kerangka Eksekusi Berantai

Perhitungan fungsi rekursif harus dikerjakan secara sistematis baris demi baris, karena satu kesalahan kecil di tengah akan merusak hasil akhir.

Ibarat jalur perakitan pada mesin bertahap di pabrik, setiap tahapan bergantung penuh pada ketelitian tahapan sebelumnya:

Nilai $x$ yang disubstitusi

Persamaan yang terbentuk

Perhitungan nilai suku

$x = 1$

$f(2) = 3f(1) - 1$

$3(2) - 1 = \mathbf{5}$

$x = 2$

$f(3) = 3f(2) - 1$

$3(\mathbf{5}) - 1 = \mathbf{14}$

$x = 3$

$f(4) = 3f(3) - 1$

$3(\mathbf{14}) - 1 = \mathbf{41}$

Perhitungan berurutan ini membuktikan bahwa nilai $f(4)$ yang benar adalah 41 (Opsi A).

Pola perhitungan berantai ini muncul pada materi barisan dan deret bersyarat, atau algoritma pemrograman berulang saat mengeksekusi fungsi perulangan.

Rangkuman & Lanjut Belajar

Berikut poin kunci yang perlu kamu ingat saat berhadapan dengan fungsi relasi berulang:

Fungsi rekursif menentukan nilai suatu suku berdasarkan nilai suku-suku sebelumnya.
Indeks pada ruas $f(x + 1)$ selalu satu langkah di depan $f(x)$. Untuk mencari suku dengan indeks $n$, nilai $x$ yang dimasukkan adalah $n - 1$.
Substitusi harus dilakukan secara bertahap mulai dari suku awal (basis) tanpa melompati baris perhitungan.
Satu ketidaktelitian kecil pada operasi pengurangan atau penjumlahan di awal akan merusak seluruh hasil suku di depannya.

Lanjut Belajar

Relasi Rekurensi Tingkat Dua (Barisan Fibonacci): Mempelajari suku yang nilainya ditentukan oleh gabungan dua suku sebelumnya sekaligus.
Menentukan Rumus Eksplisit Suku ke-$n$: Mengubah persamaan berulang menjadi satu rumus langsung tanpa perlu menghitung baris demi baris.
Algoritma Rekursi dalam Pemrograman: Memahami bagaimana mesin komputer memproses pemanggilan fungsi secara mandiri hingga mencapai kondisi berhenti.