Bongkar Pasang Eksponen dan Pangkat Negatif

Eksponen itu Singkatan Perkalian

Pangkat adalah cara ringkas menulis perkalian berulang, dan pembagian pecahan berarti mencoret bagian yang sama.

Bayangkan eksponen sebagai tumpukan blok perkalian. Ketika kita menulis $x^5$, artinya ada 5 buah blok variabel $x$ yang dikalikan beruntun di lantai atas (pembilang): $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$. Bilangan pokok $x$ ini disebut sebagai basis.

Sekarang, perhatikan suku variabel $x$ pada soal:

$$\frac{x^5}{x^3}$$

Di lantai atas terdapat 5 buah $x$, sedangkan di lantai bawah (penyebut) terdapat 3 buah $x$.

Diagram pencoretan faktor x pangkat 5 dibagi x pangkat 3 menyisakan x pangkat 2 di pembilang.

Tiga buah blok $x$ di atas dan tiga buah blok $x$ di bawah saling membagi habis (bernilai $1$). Akibatnya, tersisa $2$ buah blok $x$ di lantai atas, yang kita tuliskan sebagai $x^2$.

Proses pencoretan ini membuktikan kenapa pembagian bilangan berpangkat dengan basis yang sama cukup diselesaikan dengan mengurangkan pangkatnya:

$$\frac{x^5}{x^3} = x^{5-3} = x^2$$

Berapakah bentuk sederhana dari $\frac{p^6}{p^2}$?

  • $p^4$
  • $p^8$
  • $\frac{1}{p^4}$
  • $p^3$

Jawaban: $p^4$

Pembagian dengan basis sama diselesaikan dengan mengurangkan pangkat: 6 faktor p di pembilang dicoret dengan 2 faktor p di penyebut, menyisakan 4 faktor p di atas ($p^{6-2} = p^4$). Menjawab $p^8$ keliru karena menjumlahkan pangkat, $\frac{1}{p^4}$ keliru menempatkan sisa di penyebut, dan $p^3$ keliru membagi pangkat secara langsung ($6/2$).

Siswa dapat menyederhanakan pecahan eksponen dengan pencoretan atau pengurangan pangkat.

Ketika yang Bawah Lebih Banyak

Jika pangkat di bagian penyebut lebih besar, hasil pencoretan akan menyisakan variabel di bawah garis pecahan.

Sekarang kita terapkan logika tumpukan blok perkalian yang sama pada bagian variabel $y$ dari soal:

$$\frac{y^2}{y^4}$$

Jabarkan bentuk ini ke dalam perkalian dasarnya. Di lantai atas (pembilang) ada 2 buah $y$, sedangkan di lantai bawah (penyebut) ada 4 buah $y$:

$$\frac{y \cdot y}{y \cdot y \cdot y \cdot y}$$

Diagram pencoretan faktor y kuadrat dibagi y pangkat empat menyisakan satu per y kuadrat di penyebut.

Ketika kita mencoret faktor yang berpasangan, dua buah $y$ di atas habis membagi dua buah $y$ di bawah. Di lantai atas kini hanya tersisa bilangan $1$. Namun di lantai bawah, masih tersisa $2$ buah $y$ yang belum terbagi ($y \cdot y = y^2$).

Oleh karena itu, bentuk sederhananya adalah:

$$\frac{1}{y^2}$$

Bentuk yang tepat setelah disederhanakan dari $\frac{n^3}{n^7}$ adalah...

  • $n^4$
  • $n^{10}$
  • $\frac{1}{n^4}$
  • $\frac{n^4}{1}$

Jawaban: $\frac{1}{n^4}$

Tiga faktor n di pembilang saling membagi dengan 3 faktor n di penyebut, menyisakan 4 faktor n di lantai bawah (penyebut), sehingga bentuk sederhananya adalah $\frac{1}{n^4}$. Opsi $n^4$ dan $\frac{n^4}{1}$ keliru karena menempatkan sisa variabel di pembilang (lantai atas), sedangkan $n^{10}$ keliru karena menjumlahkan pangkat.

Siswa dapat menentukan posisi sisa variabel jika penyebut memiliki pangkat lebih tinggi.

Membaca Kode Pangkat Negatif

Pangkat negatif hanyalah kode matematika yang menandakan bahwa variabel tersebut sebenarnya posisinya ada di penyebut.

Jika kita menghitung pembagian $\frac{y^2}{y^4}$ menggunakan rumus pengurangan pangkat pembilang dikurang penyebut, kita memperoleh:

$$y^{2-4} = y^{-2}$$

Padahal, lewat pencoretan langsung di halaman sebelumnya, kita tahu nilai aslinya adalah $\frac{1}{y^2}$. Artinya, bentuk $y^{-2}$ dan $\frac{1}{y^2}$ mewakili nilai yang persis sama.

Tanda minus pada pangkat negatif berfungsi seperti 'tiket pindah lantai'. Menulis $y^{-2}$ di pembilang sama persis artinya dengan menempatkan $y^2$ di lantai bawah (penyebut).

Setelah variabel berpindah ke bawah garis pecahan, 'tiket' tersebut sudah terpakai, sehingga tanda minusnya harus dilepas menjadi pangkat positif: $y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.

Sekarang, satukan hasil kedua variabel dari soal awal $\frac{x^5y^2}{x^3y^4}$:

  1. Bagian $x$ menyisakan $x^2$ di pembilang.

  2. Bagian $y$ menyisakan $y^2$ di penyebut.

Menggabungkan keduanya menghasilkan $\frac{x^2}{y^2}$, yang sesuai dengan Opsi B.

Tentukan apakah setiap kesamaan bentuk eksponen berikut Benar atau Salah:

  • $m^{-5} = \frac{1}{m^5}$ — Benar
  • $\frac{1}{k^{-3}} = \frac{1}{k^3}$ — Salah

Pernyataan pertama Benar karena tanda minus pada $m^{-5}$ memindahkan $m^5$ ke penyebut menjadi $\frac{1}{m^5}$. Pernyataan kedua Salah karena $k^{-3}$ yang berada di penyebut (lantai bawah) memiliki tanda minus yang memerintahkannya pindah ke pembilang (lantai atas), sehingga bentuk sederhananya adalah $k^3$, bukan $\frac{1}{k^3}$.

Siswa memahami kesetaraan wujud dari pangkat negatif ke pecahan berpangkat positif.