Persamaan Logaritma dan Jebakan Syarat Batas

Menjumlahkan Logaritma Basis Sama

Menjumlahkan dua nilai logaritma yang basisnya sama setara dengan mencari logaritma dari hasil kali argumen (numerus)-nya.

Dalam riset populasi burung jalak bali pada soal, kita menemukan relasi total indeks observasi berupa:

$${}^2\log y + {}^2\log(y - 4) = 5$$

Bayangkan logaritma basis $2$ sebagai penghitung siklus penggandaan populasi. Setiap kali populasi berlipat ganda, indeks logaritmanya bertambah $1$. Saat kita menjumlahkan siklus penggandaan dari koloni utama dan koloni satelit, hukum eksponen memberi tahu kita bahwa menjumlahkan pangkat sama dengan mengalikan nilai aslinya.

Diagram penyatuan dua suku logaritma basis sama menjadi satu suku dengan numerus yang dikalikan.

Secara aljabar, sifat penjumlahan logaritma dirumuskan sebagai:

$${}^a\log b + {}^a\log c = {}^a\log(b \times c)$$

Dengan menerapkan sifat dasar ini, dua suku logaritma terpisah pada soal dapat kita satukan secara rapi menjadi bentuk tunggal:

$${}^2\log\big(y(y - 4)\big) = 5$$

Misalkan seorang peneliti menemukan persamaan dinamika koloni lain: ${}^3\log z + {}^3\log(2z) = 4$. Bentuk logaritma tunggal dari persamaan tersebut adalah...

  • {}^3\log(2z^2) = 4
  • {}^3\log(3z) = 4
  • {}^6\log(2z^2) = 4
  • {}^3\log(z^2) = 4

Jawaban: {}^3\log(2z^2) = 4

Berdasarkan sifat penjumlahan logaritma (^a\log b + ^a\log c = ^a\log(bc)), suku dengan basis sama dapat disatukan dengan mengalikan kedua numerusnya: z \times 2z = 2z^2, sehingga menjadi {}^3\log(2z^2) = 4. Opsi B salah karena menjumlahkan numerus (z + 2z), opsi C salah karena menjumlahkan basis, dan opsi D salah karena koefisien 2 hilang.

Menyederhanakan penjumlahan fungsi logaritma basis sama ke dalam satu logaritma.

Lepas dari Logaritma

Persamaan logaritma bisa dipecahkan dengan menerjemahkannya kembali ke definisi asalnya yaitu bentuk pangkat eksponensial.

Setelah menyatukan suku-suku di halaman sebelumnya, kita memiliki persamaan:

$${}^2\log\big(y(y - 4)\big) = 5$$

Banyak siswa macet di tahap ini karena mengira logaritma bisa dihilangkan begitu saja. Padahal, esensi dari logaritma adalah mencari pangkat. Pernyataan "${}^2\log(N) = 5$" secara harafiah bertanya: "Bilangan $2$ harus dipangkatkan berapa agar menghasilkan $N$?" Jawabannya adalah pangkat $5$.

Relasi bolak-balik antara logaritma dan eksponen selalu terikat oleh definisi baku:

$${}^a\log b = c \iff b = a^c$$

Dengan mengembalikan basis $2$ ke pangkatnya, persamaan terbebas dari notasi logaritma:

$$y(y - 4) = 2^5$$

Karena $2^5 = 32$, kita tinggal mengalikan suku aljabar di ruas kiri untuk membentuk persamaan kuadrat standar:

$$y^2 - 4y = 32 \implies y^2 - 4y - 32 = 0$$

Dalam sebuah uji coba lanjutan, diperoleh relasi ${}^5\log(x^2 - x) = 2$. Bentuk eksponensial yang ekuivalen dengan relasi tersebut adalah...

  • x^2 - x = 25
  • x^2 - x = 10
  • 25(x^2 - x) = 0
  • x^2 - x = 32

Jawaban: x^2 - x = 25

Berdasarkan definisi dasar logaritma, {}^a\log b = c ekuivalen dengan b = a^c. Pada relasi {}^5\log(x^2 - x) = 2, basisnya adalah 5 dan pangkatnya adalah 2, sehingga ruas kanan menjadi 5^2 = 25. Maka bentuk eksponensialnya adalah x^2 - x = 25. Opsi B keliru mengalikan 5 \times 2, opsi C keliru menerapkan perkalian distributif, dan opsi D keliru memakai hasil 2^5 dari soal sebelumnya.

Mengkonversi bentuk persamaan logaritma menjadi persamaan eksponensial.

Filter Akhir: Syarat Numerus

Solusi persamaan kuadrat hasil jabaran aljabar belum tentu valid jika menyebabkan nilai numerus (input logaritma) menjadi nol atau negatif.

Dari persamaan kuadrat $y^2 - 4y - 32 = 0$, kita faktorkan menjadi:

$$(y - 8)(y + 4) = 0$$

Aljabar murni memberikan dua kandidat akar, yaitu $y = 8$ atau $y = -4$. Namun, ingat bahwa persoalan awal adalah fungsi logaritma: $f(y) = {}^2\log y$ dan $f(y - 4) = {}^2\log(y - 4)$. Nilai di dalam logaritma (numerus) wajib bernilai positif tegas ($> 0$).

  1. Koloni utama: $y > 0$

  2. Koloni satelit: $y - 4 > 0 \implies y > 4$

Irisan kedua batasan ini menetapkan syarat mutlak: $y > 4$.

Grafik kurva logaritma yang menunjukkan asimtot vertikal pada batas numerus y = 4, daerah terlarang, dan titik solusi valid y = 8.

Kandidat $y = -4$ gugur karena bilangan negatif berada jauh di dalam daerah terlarang. Bagaimana dengan angka $4$? Inilah jebakan klasik yang membuat Opsi A ($4$) sangat menggoda. Jika $y = 4$, koloni satelit memiliki $4 - 4 = 0$ individu burung. Kurva fungsi logaritma mendekati asimtot tegak menuju negatif tak hingga saat mendekati nol, dan ${}^2\log 0$ tidak terdefinisi. Batas domain $y > 4$ tidak boleh menyentuh angka $4$ itu sendiri.

Oleh karena itu, satu-satunya kandidat yang lolos uji syarat numerus adalah $y = 8$ (Opsi B, benar).

Misalkan penyelesaian persamaan kuadrat turunan logaritma menghasilkan kandidat akar x = -2 dan x = 5, dengan argumen asal pada soal adalah (x + 3) dan (x - 1). Evaluasi kebenaran pernyataan berikut:

  • Syarat numerus mengharuskan x > 1. — Benar
  • Kandidat x = -2 sah dan lolos syarat. — Salah
  • Kandidat x = 5 adalah solusi valid tunggal. — Benar

Syarat numerus menuntut kedua argumen bernilai positif tegas: x + 3 > 0 (x > -3) dan x - 1 > 0 (x > 1). Irisan dari kedua domain tersebut adalah x > 1, sehingga pernyataan pertama Benar. Kandidat x = -2 tidak memenuhi syarat x > 1 dan membuat (x - 1) menjadi negatif, sehingga pernyataan kedua Salah. Kandidat x = 5 memenuhi 5 > 1 sehingga merupakan solusi valid tunggal, maka pernyataan ketiga Benar.

Memeriksa kebenaran nilai yang didapat melalui persamaan dengan uji verifikasi pada syarat numerus.