Geometri vs Linier: Menyisir Batas
Linier vs Eksponensial
Pertumbuhan berdasarkan persentase akan mengalikan nilai terbaru setiap periodenya, bukan menjumlahkan nilai awal secara konstan. Ketika suatu kultur mikroorganisme bertambah $30\%$ setiap $2$ jam dari populasi awal $500$ sel, pertambahan tidak dihitung dari nilai awal $500$ secara berulang ($+150$ sel terus-menerus), melainkan dihitung dari total sel pada periode sebelumnya. Proses perkalian berulang ini membentuk Barisan Geometri yang mendasari Pertumbuhan Eksponensial.
Secara matematis, penambahan $30\%$ setara dengan mengalikan populasi sebelumnya dengan Faktor Pengali:
$$r = 1 + 30\% = 1 + 0{,}3 = 1{,}3$$
Formula umum jumlah sel setelah $n$ interval waktu ($2$ jam) adalah:
$$N_n = N_0 \times r^n = 500 \times (1{,}3)^n$$
Tabel di atas membandingkan hasil perhitungan model penambahan konstan (linier) dengan model geometri nyata:
Pada $n = 0$ (pukul 06.00): Kedua model bernilai $500$ sel.
Pada $n = 1$ (pukul 08.00): Kedua model menghasilkan $500 \times 1{,}3 = 650$ sel (bertambah $150$).
Pada $n = 2$ (pukul 10.00): Model linier hanya menjumlahkan $150$ lagi sehingga bernilai $800$ sel. Namun pada Barisan Geometri, perhitungannya adalah $650 \times 1{,}3 = 845$ sel (atau $500 \times 1{,}3^2 = 845$ sel).
Karena pada pukul 10.00 populasinya baru mencapai $845$ sel, kondisi stabil (syarat: populasi $> 1200$) belum terpenuhi. Dengan demikian, Opsi A salah.
Sebuah tabungan bunga majemuk bertambah 10% setiap tahun. Tentukan kebenaran pernyataan berikut:
- Pada tahun kedua, bunganya dihitung dari saldo total di akhir tahun pertama. — Benar
- Pertambahan saldonya akan selalu berupa angka rupiah yang sama setiap tahun. — Salah
Pernyataan 1 Benar karena pada pertumbuhan persentase/bunga majemuk, perhitungan bunga periode berikutnya selalu berdasar pada total saldo terakhir. Pernyataan 2 Salah karena nilai pertambahan nominal bertambah besar setiap periode mengikuti basis saldo yang terus naik.
Pertumbuhan persentase dihitung dari nilai pada periode terakhir, bukan dari nilai awal.
Mengevaluasi Semua Pilihan
Soal dengan rentang ganda mewajibkan pengecekan sistematis setiap opsi sampai batas atas terlampaui. Kriteria yang diminta adalah populasi stabil tetapi belum perlu dipindahkan ke media baru, yang dapat dinyatakan sebagai pertidaksamaan:
$$1200 < N_n \le 2000$$
Untuk menguji pilihan waktu pada soal, kita evaluasi rumus $N_n = 500 \times (1{,}3)^n$ secara berurutan pada setiap kelipatan $2$ jam sejak pukul 06.00:
Pukul 12.00 ($n = 3$):
$$N_3 = 500 \times (1{,}3)^3 = 500 \times 2{,}197 = 1098{,}5 \text{ sel}$$
Nilai $1098{,}5 \le 1200$, artinya kondisi stabil belum tercapai. Maka Opsi B salah.
Pukul 14.00 ($n = 4$):
$$N_4 = 500 \times (1{,}3)^4 = 500 \times 2{,}8561 = 1428{,}05 \approx 1428 \text{ sel}$$
Nilai $1428$ berada pada rentang $1200 < 1428 \le 2000$. Syarat terpenuhi, sehingga Opsi C benar.
Pukul 16.00 ($n = 5$):
$$N_5 = 500 \times (1{,}3)^5 = 500 \times 3{,}71293 = 1856{,}465 \approx 1856 \text{ sel}$$
Nilai $1856$ masih berada dalam rentang $1200 < 1856 \le 2000$. Syarat kembali terpenuhi, sehingga Opsi D benar.
Pukul 18.00 ($n = 6$):
$$N_6 = 500 \times (1{,}3)^6 = 500 \times 4{,}826809 = 2413{,}4045 \approx 2413 \text{ sel}$$
Nilai $2413 > 2000$, yang berarti kultur mikroorganisme sudah masuk kategori terlalu padat dan harus segera dipindahkan. Oleh sebab itu, Opsi E salah.
Rangkuman & Lanjut Belajar
Berikut poin-poin kunci yang telah kita pelajari:
Pertumbuhan Eksponensial vs Linier: Kenaikan berbasis persentase membentuk Barisan Geometri, di mana pertambahan periode baru selalu dihitung dari total akumulasi terakhir, bukan dari nilai awal saja.
Faktor Pengali ($r$): Kenaikan persentase $p\%$ menghasilkan pengali sebesar $(1 + p\%)$. Untuk kenaikan $30\%$, faktor pengalinya adalah $1 + 0{,}3 = 1{,}3$.
Rumus Pertumbuhan Diskrit: Menghitung ukuran nilai pada periode ke-$n$ menggunakan rumus $N_n = N_0 \times r^n$, dengan $n$ merupakan banyaknya interval waktu yang telah berlalu.
Evaluasi Rentang Ganda: Pada kriteria bernilai rentang (seperti $1200 < N \le 2000$), setiap opsi perlu dihitung secara runtut hingga nilai melampaui batas atas agar tidak ada solusi benar yang terlewat.
Lanjut belajar
Untuk memperdalam dan memperluas pemahaman pemodelan eksponensial, kamu bisa melanjutkan ke topik berikut:
Peluruhan Eksponensial dan Waktu Paruh ($t_{1/2}$): Mempelajari bagaimana rumus geometri diterapkan ketika faktor pengali bernilai kurang dari satu ($r < 1$), seperti pada peluruhan zat radioaktif atau dosis obat dalam tubuh.
Bunga Majemuk Berkala Tinggi: Memahami penyesuaian suku bunga nominal jika periode pemajemukan dihitung bulanan, harian, atau kontinu ($e^{rt}$).
Pertidaksamaan Eksponensial: Menyelesaikan pencarian nilai interval waktu $n$ secara langsung menggunakan logaritma tanpa harus menguji satu per satu sukunya.