Fungsi Signum dan Irisan Pertidaksamaan
Jangan Takut Simbol Asing
Sering kali di soal UTBK, kita disuguhi simbol-simbol aneh yang belum pernah kita lihat di sekolah. Salah satunya adalah $\text{sgn}(x)$, singkatan dari signum atau fungsi tanda. Melihat huruf baru, insting pertama kita mungkin panik. Padahal, di matematika, fungsi hanyalah sebuah mesin pemroses.
Ada barang yang masuk (kita sebut input), lalu diproses oleh aturan tertentu di dalam mesin, dan keluar jadi barang baru (output).
Sesuai namanya, mesin $\text{sgn}$ bertugas murni sebagai detektor tanda dari angka yang dimasukkan. Aturannya sangat kaku dan mutlak:
Kalau dimasukkan angka positif (sebesar apa pun), mesin akan selalu mengeluarkan angka 1.
Kalau dimasukkan angka negatif, mesin mengeluarkan -1.
Kalau dimasukkan angka nol, mesin mengeluarkan 0.
Sepanjang dan serumit apa pun variabel yang ada di dalam kurung (misalnya $\text{sgn}(x^2 - 5x + 6)$), kamu tidak perlu memusingkannya dulu. Ingat saja bahwa hasil akhir (keluaran) dari mesin ini cuma punya 3 kemungkinan opsi di atas.
Berapakah hasil akhir dari mesin $\text{sgn}(-99)$?
- A. 99
- B. -99
- C. -1
- D. 1
Jawaban: C. -1
Angka -99 adalah bilangan negatif. Mesin sgn mendeteksi nilai negatif dan langsung mengonversinya menjadi output -1.
Fungsi sgn hanya menghasilkan output 1, 0, atau -1 berdasarkan tanda dari inputnya.
Fokus ke Output Dulu
Di soal, kita diberikan persamaan yang terlihat panjang: $\text{sgn}(x - 1) + \text{sgn}(x - 2) + \text{sgn}(x - 3) = 3$
Kesalahan paling umum yang bikin stuck adalah langsung memikirkan nilai $x$ (input-nya). Coba kita pisahkan pikiran kita. Jangan pedulikan apa isi di dalam kurungnya. Anggap saja soalnya adalah: $\text{sgn}(A) + \text{sgn}(B) + \text{sgn}(C) = 3$
Dari halaman sebelumnya, kita tahu persis bahwa batas maksimal nilai yang bisa dikeluarkan oleh satu mesin $\text{sgn}$ adalah 1.
Sekarang coba pakai logika dasar: bagaimana caranya tiga buah angka, yang masing-masing nilainya paling besar cuma bisa 1, bisa ditambahkan hingga berjumlah 3? Satu-satunya kemungkinan matematis secara logika adalah $1 + 1 + 1 = 3$.
Tidak mungkin ada kombinasi lain. Kalau ada satu saja mesin yang mengeluarkan 0 atau -1, total jumlahnya tidak akan pernah bisa mencapai angka 3.
Artinya, kita bisa menarik kesimpulan yang sangat kuat tanpa perlu menghitung aljabar:
$\text{sgn}(x - 1)$ HARUS bernilai 1.
$\text{sgn}(x - 2)$ HARUS bernilai 1.
$\text{sgn}(x - 3)$ HARUS bernilai 1.
Jika diketahui $\text{sgn}(A) + \text{sgn}(B) = 2$, tentukan status dari kemungkinan-kemungkinan berikut:
- Mungkin saja $\text{sgn}(A) = 2$ dan $\text{sgn}(B) = 0$ — Salah
- Bisa jadi $\text{sgn}(A) = 0$ dan $\text{sgn}(B) = 1$ — Salah
- Kedua nilai $\text{sgn}$ wajib bernilai 1 — Benar
Satu-satunya cara agar jumlah dua fungsi sgn mencapai angka 2 adalah jika KEDUANYA bernilai maksimum, yaitu 1. Jika salah satu bernilai 0 atau -1, totalnya pasti kurang dari 2.
Jumlah fungsi dengan batas maksimum hanya bisa mencapai nilai total maksimum jika setiap fungsi bernilai maksimum.
Lacak Balik ke Input
Setelah kita tahu bahwa hasil akhir (output) dari tiap suku mesin tadi wajib sama dengan 1, sekarang saatnya kita melakukan reverse engineering (lacak balik) untuk mencari tahu apa yang dimasukkan.
Kita ambil satu suku pertama: $\text{sgn}(x - 1) = 1$.
Ingat lagi aturan dasar mesin detektor kita: mesin $\text{sgn}$ hanya akan mengeluarkan angka 1 jika dan hanya jika barang yang masuk ke dalamnya adalah bilangan positif (lebih besar dari nol).
Maka, kita bisa membongkar isi kotaknya. Supaya keluaran dari $\text{sgn}(x - 1)$ adalah 1, maka "barang" utuh yang ada di dalam kurungnya haruslah positif. Berarti: $(x - 1) > 0$. Dari sini, kita pindah ruaskan angka -1: $x > 1$.
Lakukan deduksi yang sama persis dan bertahap untuk dua suku lainnya:
Supaya $\text{sgn}(x - 2) = 1$, maka isi di dalam kurungnya wajib positif: $(x - 2) > 0$, berarti $x > 2$.
Supaya $\text{sgn}(x - 3) = 1$, maka $(x - 3) > 0$, berarti $x > 3$.
Sekarang, kita sudah sukses menerjemahkan fakta dari output menjadi batas-batas syarat dari variabel masukannya ($x$).
Misalkan kamu menemukan persamaan $\text{sgn}(x - 5) = -1$. Apa kesimpulan logis tentang nilai $x$?
- A. $x - 5 < 0$ (atau $x < 5$)
- B. $x - 5 > 0$ (atau $x > 5$)
- C. $x - 5 = -1$ (atau $x = 4$)
- D. $x - 5 = 0$ (atau $x = 5$)
Jawaban: A. $x - 5 < 0$ (atau $x < 5$)
Jika mesin mengeluarkan output -1, itu tandanya nilai yang dimasukkan ke dalam kurung adalah bilangan negatif. Jadi, (x - 5) harus kurang dari 0.
Output sgn bernilai -1 berarti inputnya harus lebih kecil dari nol (< 0).