Trik Deret Geometri: Dari Kata Kunci ke Rumus

Menerjemahkan Kata Kunci Soal

Suku pertama ($a$) adalah nilai barang sesuai kriteria pertama yang diminta, bukan selalu angka awal yang disebut di soal.

Ketika membaca soal cerita matematika, angka pertama yang muncul sering kali mengecoh kita untuk langsung menganggapnya sebagai $a$. Padahal, kita harus meneliti benda pertama mana yang sebenarnya diminta untuk dijumlahkan. Pada soal ini, kita diminta mencari total harga motor yang berusia $1$, $2$, $3$, dan $4$ tahun. Artinya, deret perhitungan kita baru dimulai dari motor yang berusia 1 tahun, bukan motor dalam kondisi baru (usia $0$ tahun).

Bayangkan sebuah mesin pemotong: setiap kali motor bertambah usia $1$ tahun melewati pos pemotongan, harganya dipotong tepat menjadi separuhnya (dikalikan $\frac{1}{2}$). Motor baru dibeli seharga Rp$20.000.000,00$. Begitu usianya menginjak $1$ tahun, motor tersebut sudah melewati pos pemotongan satu kali:

$$a = 20.000.000 \times \frac{1}{2} = 10.000.000$$

Jadi, suku pertama ($a$) kita adalah Rp$10.000.000,00$.

Menyusun Kerangka Rumus

Rumus jumlah deret geometri digunakan untuk mempercepat penjumlahan saat rasio bersifat tetap.

Karena setiap motor melewati mesin pemotong dengan faktor pengali yang sama, deretan harga motor ini membentuk sebuah Deret Geometri. Kita tidak perlu menjumlahkannya satu per satu secara manual, melainkan cukup menyiapkan tiga variabel penentu:

• Suku pertama ($a$): Nilai motor usia $1$ tahun, yaitu $10.000.000$.

• Rasio ($r$): Faktor pengali tetap antar-tahun, yaitu $r = \frac{1}{2}$ (didapat dari kalimat berkurang menjadi $\frac{1}{2}$ kali).

• Jumlah suku ($n$): Banyaknya motor yang dihitung, yaitu $n = 4$ (karena ada motor berusia $1$, $2$, $3$, dan $4$ tahun).

Ketika nilai rasio lebih kecil dari $1$ ($r < 1$), kita gunakan bentuk rumus jumlah deret geometri:

$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$

Dengan memasukkan nilai $a = 10.000.000$, $r = \frac{1}{2}$, dan $n = 4$, kerangka perhitungan kita menjadi:

$$S_4 = \frac{10.000.000 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^4\right)}{1 - \frac{1}{2}}$$

Trik Hitung Pecahan Bertingkat

Membagi sebuah bilangan dengan $\frac{1}{2}$ sama dengan mengalikannya dengan $2$.

Banyak kesalahan hitung terjadi saat menyederhanakan pecahan bertingkat pada rumus $S_4$. Mari kita bedah perhitungannya tahap demi tahap tanpa melompati bagian dasar:

1. Selesaikan perpangkatan di pembilang:

   $$\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$$

2. Samakan penyebut pada pembilang: Bilangan $1$ senilai dengan $\frac{16}{16}$. Maka:

   $$1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$

3. Hitung bagian penyebut:

   $$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Sekarang, bentuk pecahannya adalah pembilang $\frac{15}{16}$ yang dibagi oleh penyebut $\frac{1}{2}$. Membagi dengan pecahan sama artinya dengan membalik pecahan penyebutnya lalu mengalikannya:

$$\frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}} = \frac{15}{16} \times \frac{2}{1} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8}$$

Langkah terakhir, kalikan hasil pecahan tersebut dengan $a$:

$$S_4 = 10.000.000 \times \frac{15}{8} = 1.250.000 \times 15 = 18.750.000$$

Jadi, total harga jual motor-motor tersebut adalah Rp$18.750.000,00$ (Opsi C).