Jembatan Persamaan Kuadrat & Barisan Geometri

Rahasia Perkalian Akar Tanpa Dicari

Pernah lihat persamaan kuadrat yang bentuknya panjang dan seram seperti $x^2-(2t^2-t-1)x+(3t+4)=0$? Secara insting, kita mungkin langsung berpikir: "Wah, ini harus difaktorin atau pakai rumus ABC nih buat cari nilai $p$ dan $q$!"

Tahan dulu! Kadang, soal tidak meminta kita mencari nilai masing-masing akar, melainkan hubungan di antara mereka. Di sinilah rahasia persamaan kuadrat berperan. Setiap persamaan kuadrat berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ selalu menyimpan "harta karun" pada koefisiennya.

Mari kita bedah persamaan di soal kita:

Berdasarkan sifat sakti tadi, hasil kali dari akar-akarnya, yaitu $p$ dan $q$, adalah: $p \cdot q = \frac{3t+4}{1} = 3t+4$

Simpan baik-baik persamaan $p \cdot q = 3t+4$ ini sebagai Kunci 1. Kita tidak perlu pusing memikirkan berapa nilai $p$ dan $q$ secara spesifik, karena hasil kali ini sudah cukup menjadi bekal berharga ke tahap selanjutnya!

Jika sebuah persamaan kuadrat memiliki bentuk $x^2 + 5x + 10 = 0$ dan akar-akarnya adalah $\alpha$ dan $\beta$, berapakah nilai dari $\alpha \cdot \beta$?

  • A. -5
  • B. 5
  • C. -10
  • D. 10

Jawaban: D. 10

Sesuai sifat Vieta, hasil kali akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ adalah $c/a$. Di sini $c=10$ dan $a=1$, sehingga nilainya $10/1 = 10$.

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat bernilai c/a.

Menemukan Jembatan Geometri

Kita sudah punya Kunci 1 dari dunia persamaan kuadrat. Sekarang, mari kita melangkah ke dunia barisan geometri. Di soal disebutkan bahwa $p, t, q$ secara berurutan membentuk tiga suku pertama dari suatu barisan geometri. Tapi, apa sebenarnya makna hal ini dalam bentuk aljabar?

Barisan geometri punya satu aturan mutlak: perbandingan (rasio) antara suku yang berdekatan selalu konstan. Artinya, jika kita membagi suku kedua dengan suku pertama, hasilnya akan persis sama dengan suku ketiga dibagi dengan suku kedua.

Mari kita tulis aturannya secara matematis: $\frac{\text{Suku ke-2}}{\text{Suku ke-1}} = \frac{\text{Suku ke-3}}{\text{Suku ke-2}}$

Lalu masukkan nilai $p, t, q$ milik kita: $\frac{t}{p} = \frac{q}{t}$

Sekarang, coba lakukan kali silang pada persamaan pecahan di atas: $t \cdot t = p \cdot q$ $t^2 = p \cdot q$

Menarik, kan? Sifat ini berlaku secara umum untuk semua barisan geometri yang terdiri dari 3 suku berurutan: kuadrat dari suku tengah pasti sama dengan hasil kali suku di pinggirnya. Ini adalah "jembatan" yang akan menghubungkan teka-teki barisan geometri kita dengan Kunci 1. Kita simpan ini sebagai Kunci 2.

Jika x, 6, dan 9 adalah tiga suku berurutan dari sebuah barisan geometri, berapakah nilai x yang mungkin?

  • A. 2
  • B. 3
  • C. 4
  • D. 5

Jawaban: C. 4

Berdasarkan sifat 3 suku barisan geometri, kuadrat suku tengah sama dengan hasil kali ujung-ujungnya: $6^2 = x \cdot 9 \implies 36 = 9x \implies x = 4$.

Kuadrat suku tengah pada barisan geometri 3 suku adalah hasil kali dari suku pertama dan ketiganya.

Menyatukan Dua Dunia (Mencari t)

Sekarang adalah momen saat kita menggabungkan kepingan puzzle tadi. Perhatikan baik-baik dua kunci yang kita bawa:

Kamu lihat kemiripannya? Keduanya sama-sama memuat bentuk $p \cdot q$!

Dengan melakukan substitusi (mengganti $p \cdot q$ di Kunci 2 dengan nilainya yang ada di Kunci 1), dua persamaan ini melebur menjadi satu persamaan yang hanya berisi satu variabel, yaitu $t$: $t^2 = 3t + 4$

Pindahkan semua elemen ke ruas kiri supaya membentuk persamaan kuadrat biasa: $t^2 - 3t - 4 = 0$

Tinggal kita faktorkan. Kita cari dua angka yang kalau dikali hasilnya $-4$ dan kalau ditambah hasilnya $-3$. Yap, dua angka itu adalah $-4$ dan $+1$. $(t - 4)(t + 1) = 0$

Berarti nilai $t$ yang memenuhi adalah $t = 4$ atau $t = -1$.

Selesai sudah perburuan variabel kita. $t$ bernilai $-1$.

Diberikan dua persamaan: $m \cdot n = 2y - 1$ dan $y^2 = m \cdot n$. Jika kita mensubstitusi persamaan pertama ke kedua, persamaan manakah yang akan kita dapatkan?

  • A. $y^2 - 2y - 1 = 0$
  • B. $y^2 - 2y + 1 = 0$
  • C. $y^2 + 2y - 1 = 0$
  • D. $2y^2 - y + 1 = 0$

Jawaban: B. $y^2 - 2y + 1 = 0$

Ganti $m \cdot n$ di persamaan kedua dengan $(2y-1)$, menjadi $y^2 = 2y - 1$. Pindah ruas ke kiri menjadi $y^2 - 2y + 1 = 0$.

Substitusi bentuk yang sama (m·n) dapat menyatukan dua persamaan menjadi persamaan dengan satu variabel.