Trik Menjinakkan Angka Tak Hingga

Rahasia Akar Bersarang

Pernahkah kamu berdiri di antara dua cermin yang saling berhadapan? Kamu akan melihat pantulan dirimu yang berulang masuk ke dalam tanpa batas.

Infinity Mirror Effect Gambar: Elsamuko from Kiel, Germany, CC BY-SA 2.0 — Wikimedia Commons

Kalau kamu menggeser pandanganmu selangkah ke dalam cermin itu, jumlah pantulannya tetap tak terhingga. Sesuatu yang berulang tak hingga tidak akan berkurang nilainya jika kita mengambil satu bagian polanya, karena di dalam tak hingga sudah memuat "tak hingga" itu sendiri!

Hal yang persis sama terjadi di matematika, tepatnya pada angka $b = \sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6...}}}$.

Perhatikan baik-baik: pola $\sqrt{6\sqrt{6...}}$ yang ada di dalam akar paling luar sebenarnya sama persis dengan nilai $b$ itu sendiri. Artinya, keseluruhan "samudra" ini ada di dalam "ember"-nya.

Karena bagian dalamnya sama dengan $b$, kita bisa menulis ulang persamaannya dengan cara yang jauh lebih intuitif dan ringkas, yaitu dengan langsung mengganti seluruh ekor tak hingganya menjadi variabel aslinya: $b = \sqrt{6b}$

Jika kamu memiliki bentuk tak hingga $y = \sqrt{12\sqrt{12\sqrt{12...}}}$, bagian manakah yang bisa langsung diganti dengan huruf $y$?

  • A. Seluruh angka 12 di dalam persamaan.
  • B. Angka 12 yang paling depan saja.
  • C. Pola $\sqrt{12\sqrt{12...}}$ yang berada di dalam akar pertama.
  • D. Tanda akar yang paling luar.

Jawaban: C. Pola $\sqrt{12\sqrt{12...}}$ yang berada di dalam akar pertama.

Karena polanya berulang tak hingga, isi dari akar pertama (yaitu $\sqrt{12\sqrt{12...}}$) sama persis dengan definisi $y$ secara keseluruhan.

Bagian dalam dari akar tak hingga adalah salinan dari keseluruhan pola itu sendiri.

Trik Cepat Akar Tak Hingga

Berkat observasi kita di halaman sebelumnya, kita sudah berhasil menyederhanakan masalah $b = \sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6...}}}$ menjadi bentuk aljabar yang simpel: $b = \sqrt{6b}$.

Sekarang pertanyaannya: bagaimana cara menyelesaikan persamaan tersebut?

Untuk menghilangkan tanda akar yang mengganggu, kita cukup mengkuadratkan kedua sisi persamaannya: $b^2 = (\sqrt{6b})^2$ $b^2 = 6b$

Karena $b$ adalah hasil dari penarikan akar bernilai positif (dan sudah pasti bukan nol), kita punya kebebasan untuk membagi kedua ruas dengan $b$. Hasil akhirnya? $b = 6$

Berdasarkan pola cepat yang baru kamu pelajari, berapakah nilai dari $k = \sqrt{42\sqrt{42\sqrt{42...}}}$?

  • A. 6
  • B. 7
  • C. 42
  • D. 420

Jawaban: C. 42

Sesuai pola $\sqrt{x\sqrt{x...}} = x$, nilai $k$ langsung sama dengan angka berulang di dalamnya, yaitu 42.

Bentuk akar perkalian berulang tak hingga $\sqrt{x\sqrt{x...}}$ selalu bernilai $x$.

Kenapa Dikali 10 atau 100?

Sekarang kita beralih menaklukkan angka $a = 0,1666...$. Angka yang bikin masalah di sini adalah ekor '666...' yang memanjang terus tak karuan.

Tujuan utama kita hanyalah memusnahkan ekor tak hingga itu. Strateginya? Kita bikin kloningan persamaannya yang sudah dimanipulasi posisinya sedemikian rupa sehingga bagian ekornya "sejajar" satu sama lain, lalu kita kurangkan. Di sinilah perkalian kelipatan 10 menjadi pahlawan.

Coba kita lihat mekanismenya perlahan:

Sekarang coba bandingkan baris $100a$ dengan $10a$ yang kita susun vertikal: $100a = 16,666...$ $10a = 1,666...$ $--------------- -$ (Kurangi) $90a = 15$

Wah! Ekor '666...' sama-sama lenyap! Sisanya tinggal pindah ruas biasa: $a = \frac{15}{90}$, yang disederhanakan dengan dibagi 15 sehingga menjadi $\frac{1}{6}$.

Tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah dalam mengubah desimal berulang jadi pecahan!

  • Tujuan utama mengalikan dengan 10 atau 100 adalah untuk menghilangkan koma desimal seluruhnya. — Salah
  • Kita boleh mengurangkan $1000a - 100a$ jika pada kedua persamaan ekor desimalnya sudah persis sama. — Benar

Tujuannya BUKAN menghilangkan koma, tapi menyamakan bagian berulangnya agar saat dikurang akan habis. Kita bebas pakai pengali berapapun asal ekor komanya akhirnya saling sejajar.

Mengalikan kelipatan 10 berguna untuk menggeser koma hingga letak angka berulang sejajar persis dengan persamaan lainnya.