Mengurutkan Akar Berbeda Indeks

Rahasia di Balik Tanda Akar

Sering kali kita melihat bentuk akar dan bingung bagaimana cara menghitung atau membandingkannya. Apalagi jika indeks akarnya berbeda-beda seperti pada soal: $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt[4]{3}$, dan $c = \sqrt[3]{4}$.

Sifat fundamental yang perlu kamu pegang erat-erat adalah: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$

Bayangkan bentuk akar sebagai sebuah penjara. Untuk mengeluarkan angka $x$ dari penjara akar, angka indeks akar ($n$) yang tadinya berjaga di luar akan meluncur ke bawah menjadi penyebut pecahan, sedangkan pangkat asli si angka ($m$) akan melayang ke atas menjadi pembilang.

Mari kita lihat contoh $a = \sqrt{2}$. Kenapa bisa diubah menjadi $2^{\frac{1}{2}}$? Secara default, tanda akar tanpa angka indeks berarti indeksnya adalah $2$ (akar kuadrat), dan angka $2$ di dalam akar memiliki pangkat default $1$. Jadi, $\sqrt[2]{2^1} = 2^{\frac{1}{2}}$.

Langkah pertama yang paling wajib dilakukan sebelum membandingkan bilangan bentuk akar adalah membuka "penjara" tersebut dan mengubah semuanya menjadi pangkat pecahan:

• $a = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$

• $b = \sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}$

• $c = \sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}}$

Dengan bentuk pecahan ini, kita sudah selangkah lebih maju untuk bisa membandingkan ketiganya dengan adil.

Jebakan Tebak Angka & Trik KPK

Setelah mengubah bentuk akar menjadi pangkat pecahan, kita mendapatkan $2^{\frac{1}{2}}$, $3^{\frac{1}{4}}$, dan $4^{\frac{1}{3}}$. Mana yang lebih besar?

Untuk bisa membandingkannya dengan adil, kita butuh logika 'Apple to Apple'. Bayangkan kamu membandingkan barang dengan timbangan, tetapi beban pengalinya masih dalam bentuk pecahan yang berbeda-beda. Agar seimbang dan mudah dibandingkan, kita harus membulatkan pengalinya.

Bagaimana caranya? Dengan menyamakan penyebut pangkatnya! Kita cari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebut pangkat-pangkat tersebut. Penyebutnya adalah $2$, $4$, dan $3$. KPK dari angka-angka ini adalah $12$.

Selanjutnya, kita gunakan trik cepat: pangkatkan semua bilangan tersebut dengan angka KPK-nya. Tujuan dari langkah ini adalah untuk "menghabisi" bentuk pecahan di pangkat. Kita menggunakan sifat eksponen: $(x^m)^n = x^{m \times n}$

Nantinya, perkalian antara pecahan dan KPK akan menghasilkan bilangan bulat, sehingga nilainya akan sangat mudah untuk dihitung dan dibandingkan.

Eksekusi Sistematis dari Atas ke Bawah

Kini saatnya kita mengeksekusi perhitungan dari angka yang sudah kita siapkan. Kita akan memangkatkan $a$, $b$, dan $c$ dengan KPK yang telah kita temukan yaitu $12$.

Mari kita hitung dengan sistematis dari atas ke bawah menggunakan sifat $(x^m)^n = x^{m \times n}$:

1. Untuk $a = 2^{\frac{1}{2}}$ $a^{12} = (2^{\frac{1}{2}})^{12} = 2^{(\frac{1}{2} \times 12)} = 2^6$ $2^6 = 64$

2. Untuk $b = 3^{\frac{1}{4}}$ $b^{12} = (3^{\frac{1}{4}})^{12} = 3^{(\frac{1}{4} \times 12)} = 3^3$ $3^3 = 27$

3. Untuk $c = 4^{\frac{1}{3}}$ $c^{12} = (4^{\frac{1}{3}})^{12} = 4^{(\frac{1}{3} \times 12)} = 4^4$ $4^4 = 256$

Sekarang, kita bisa membandingkan hasil akhirnya yang berupa bilangan bulat utuh: $27 < 64 < 256$. Artinya, secara urutan kita mendapatkan $b^{12} < a^{12} < c^{12}$.

Karena urutannya tetap sama dan stabil, kita bisa menyimpulkan urutan aslinya: $b < a < c$

Tidak perlu tebak-tebakan lagi, dengan perhitungan yang apple to apple, hasilnya mutlak terbukti!