Menaklukkan Persamaan Fungsi Abstrak
Mesin Misterius Fungsi
Kita bisa mencari nilai spesifik dari sebuah fungsi abstrak hanya dengan memasukkan nilai variabel yang tepat, tanpa perlu tahu rumus asli fungsinya.
Sebuah persamaan fungsional sering kali terasa menakutkan karena bentuk asli fungsinya tidak diberitahukan. Bayangkan fungsi ini seperti sebuah mesin misterius berupa kotak hitam yang kokoh. Mesin ini memiliki dua kenop putar sebagai variabel input ($a$ dan $b$), serta sebuah layar kecil yang menampilkan hasil output fungsinya. Kita tidak perlu membongkar bagian dalam mesin hanya untuk mencari tahu susunan sirkuit atau rumus aslinya, karena membongkarnya sering kali sangat sulit dan membuang waktu.
Kunci utama dalam menaklukkan persamaan fungsional adalah substitusi cerdik. Kita cukup memutar kenop $a$ dan $b$ ke kombinasi angka-angka tertentu yang secara langsung memunculkan nilai sasaran di layar mesin.
Mencari Q: Syarat Pecahan
Nilai substitusi harus dipilih agar pecahan menghasilkan angka yang diinginkan tanpa melanggar syarat matematika dasar.
Target pertama kita adalah mencari nilai $Q$, yaitu $g(1)$. Dari persamaan yang diberikan pada soal:
$$g\left(\frac{a+b}{a-b}\right)=\frac{g(a)+b}{g(a)-b}$$
Kita ingin agar input di dalam kurung bernilai $1$, yaitu $\frac{a+b}{a-b} = 1$. Suatu pecahan bernilai $1$ ketika nilai pembilang sama persis dengan penyebutnya. Oleh karena itu, kita dapat menyamakan kedua bagian tersebut:
$$a + b = a - b$$
Jika kedua ruas kita kurangi dengan $a$, kita peroleh $b = -b$, yang berarti $2b = 0$ atau $b = 0$. Kita bisa memilih nilai $a$ berapa saja asalkan bukan nol, sehingga syarat bahwa penyebut tidak boleh nol tetap terpenuhi.
Sekarang, putar kenop $b$ ke angka $0$ dan masukkan ke ruas kanan persamaan:
$$g(1) = \frac{g(a) + 0}{g(a) - 0} = \frac{g(a)}{g(a)} = 1$$
Dari perhitungan ini, kita berhasil mengunci nilai $Q = g(1) = 1$.
Diberikan bentuk fungsi $h\left(\frac{x+2y}{x-y}\right)$ dengan $x \neq y$. Kita ingin argumen di dalam fungsi bernilai 1. Langkah substitusi variabel mana yang paling tepat?
- Memilih x = 1 dan y = 1 secara bersamaan
- Memilih y = 0 dengan x bilangan selain nol
- Memilih x = -2y dengan nilai y sembarang
- Memilih x = y dengan nilai x sembarang
Jawaban: Memilih y = 0 dengan x bilangan selain nol
Agar pecahan bernilai 1, pembilang harus sama dengan penyebut: x + 2y = x - y, yang menghasilkan 3y = 0 atau y = 0. Dengan memilih y = 0 dan x bukan nol, pecahan bernilai x/x = 1 secara aman tanpa membuat penyebut nol. Pilihan A dan D salah karena membuat penyebut (x - y) menjadi nol (tidak terdefinisi). Pilihan C salah karena membuat pembilang nol, sehingga pecahan bernilai nol, bukan 1.
Teknik mengubah pecahan menjadi nilai 1 dengan mempertahankan syarat penyebut.
Batu Pijakan untuk P
Nilai fungsi yang sudah ditemukan bisa digunakan sebagai kunci untuk membuka nilai fungsi di titik yang lain.
Sekarang kita beralih mencari nilai $P$, yaitu $g(0)$. Agar argumen di dalam fungsi bernilai nol, pecahan $\frac{a+b}{a-b}$ harus bernilai $0$. Sebuah pecahan bernilai nol ketika pembilangnya bernilai nol dan penyebutnya bukan nol. Maka, kita peroleh kondisi:
$$a + b = 0 \implies b = -a$$
Substitusikan hubungan $b = -a$ ini ke dalam persamaan fungsional pada ruas kanan:
$$g(0) = \frac{g(a) + (-a)}{g(a) - (-a)} = \frac{g(a) - a}{g(a) + a}$$
Di sinilah momen substitusi cerdik kedua bekerja. Variabel $a$ bebas kita pilih asalkan tidak membuat penyebut bernilai nol. Karena di tahap sebelumnya kita sudah mengetahui bahwa $g(1) = 1$, kita bisa memanfaatkan nilai tersebut sebagai batu pijakan dengan memutar kenop $a$ ke angka $1$ (sehingga $b = -1$):
$$g(0) = \frac{g(1) - 1}{g(1) + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$$
Dengan demikian, kita peroleh nilai $P = g(0) = 0$ dan $Q = g(1) = 1$. Karena $0 < 1$, maka hubungan yang benar adalah $P < Q$ (Opsi B benar).
Diketahui persamaan fungsi dengan dua variabel yang setelah substitusi $v = -u$ menghasilkan $F(0) = \frac{F(u) - u}{F(u) + u}$. Jika nilai $F(1) = 2$ sudah diketahui sebelumnya, tentukan kebenaran pernyataan berikut:
- Mensubstitusi u = 1 sangat disarankan karena kita bisa memanfaatkan nilai F(1) yang sudah kita miliki. — Benar
- Kita bebas menggunakan u = 0 untuk menemukan nilai akhirnya, karena kita mencari F(0). — Salah
Pernyataan 1 Benar: Strategi substitusi bertingkat bekerja dengan memanfaatkan nilai yang sudah diketahui, yaitu F(1) = 2, sehingga memilih u = 1 langsung menghasilkan angka konkret. Pernyataan 2 Salah: Jika kita memilih u = 0, ruas kanan akan memuat F(0) yang justru sedang dicari, sehingga persamaannya berputar (looping) dan nilainya tidak langsung terpecahkan.
Memanfaatkan nilai fungsi dari substitusi awal untuk menghitung nilai fungsi berikutnya.