Mengeksekusi Aljabar Kurva Bersinggungan

Arti Visual dari Bersinggungan

Bayangkan dua mobil melaju di jalan tol dan bodi mereka nyaris saling bergesekan (bersinggungan) pada satu titik. Agar hal ini bisa terjadi, kedua mobil tersebut wajib berada di posisi yang persis sama DAN sedang menghadap ke arah kemiringan yang persis sama.

Di matematika, idenya juga persis seperti itu!

Dalam soal ini, kita diminta mencari nilai $a$ dan $b$ yang tersembunyi pada kurva $f(x) = x^2 - ax + b$. Kita diberi petunjuk bahwa kurva ini bersinggungan dengan garis lurus $y = 2x - 4$ di $x = 3$.

Kata "bersinggungan di suatu titik" memberikan kita dua 'kunci rahasia' untuk membongkar misteri $a$ dan $b$:

  1. Kunci Posisi: Kurva dan garis bertemu di titik koordinat yang persis sama.

  2. Kunci Kemiringan: Kurva dan garis memiliki tingkat kemiringan (gradien) yang persis sama di titik tersebut.

Di halaman berikutnya, kita akan mengeksekusi kedua kunci ini satu per satu!

Kunci Pertama: Samakan Kemiringannya

Karena garis lurus kemiringannya selalu konstan (tetap), kita tinggal memaksa kemiringan kurva agar bernilai sama di titik singgung tersebut.

Coba perhatikan garis lurus $y = 2x - 4$. Angka di depan variabel $x$ adalah kemiringannya (gradien). Jadi, garis ini punya kemiringan $2$.

Nah, bagaimana cara mencari kemiringan sebuah kurva lengkung? Di sinilah konsep turunan pertama bekerja sebagai 'mesin pencari kemiringan'. Turunan dari kurva $f(x) = x^2 - ax + b$ adalah: $f'(x) = 2x - a$

Karena kurva dan garis bersinggungan di $x = 3$, kita masukkan angka $3$ ke mesin kemiringan kurva, lalu kita paksa hasilnya agar sama dengan $2$ (kemiringan garis). $f'(3) = 2$ $2(3) - a = 2$ $6 - a = 2$ Didapatlah nilai $a = 4$. Gembok pertama berhasil dibuka!

Mengapa kita menggunakan turunan pertama f'(x) dan memasukkan nilai x = 3 pada langkah kunci pertama di atas?

  • A. Mencari titik potong dengan sumbu y.
  • B. Mencari nilai fungsi (posisi y) pada titik tersebut.
  • C. Mencari tingkat kemiringan (gradien) kurva pada titik tersebut.
  • D. Menemukan nilai konstanta yang hilang.

Jawaban: C. Mencari tingkat kemiringan (gradien) kurva pada titik tersebut.

Turunan pertama fungsi f(x) dievaluasi pada titik x (yaitu f'(x)) memberikan nilai gradien garis singgung kurva di titik tersebut. Itulah sebabnya kita menyamakan f'(3) dengan gradien garis.

Turunan pertama dari sebuah kurva di titik tertentu mewakili nilai kemiringan (gradien) kurva di titik tersebut.

Kunci Kedua: Samakan Posisi Titiknya

Sekarang kita sudah tahu bahwa $a = 4$. Persamaan kurva kita menjadi $f(x) = x^2 - 4x + b$. Sisa satu misteri lagi: mencari nilai $b$.

Karena kurva dan garis menempel bersinggungan di $x = 3$, maka mereka berdua harus memiliki ketinggian (nilai y) yang persis sama di lokasi tersebut.

Untuk tahu berapa ketinggian pertemuannya, kita bisa numpang menghitung pakai persamaan garis lurus yang bentuknya sudah lengkap tanpa misteri: $y = 2(x) - 4$ Masukkan $x = 3$: $y = 2(3) - 4 = 2$

Ternyata, "titik tabrakan" alias titik singgungnya berada persis di koordinat $(3, 2)$.

Karena kurva juga menempel di titik itu, artinya kurva $f(x)$ wajib melewati titik $(3, 2)$. Kalau kita masukkan $x = 3$ ke kurva, hasilnya wajib $2$. Mari kita hitung setahap demi setahap: $f(3) = 2$ $3^2 - 4(3) + b = 2$ $9 - 12 + b = 2$ $-3 + b = 2$ Sehingga didapat $b = 5$. Gembok kedua berhasil dibuka!

Tentukan Fakta atau Mitos seputar syarat kesamaan posisi dua grafik yang bersinggungan!

  • Nilai y dari garis lurus saat x=3 pasti sama dengan nilai y dari kurva f(x) saat x=3. — Fakta
  • Kita bisa mensubstitusi koordinat pertemuan (3,2) langsung ke persamaan kurva f(x) untuk mencari variabel yang hilang. — Fakta
  • Kita bisa mencari nilai b dengan menyamakan hasil turunan kurva f'(3) dengan tinggi titik y. — Mitos

Bersinggungan berarti mereka menyentuh koordinat yang persis sama. Oleh karena itu nilai fungsi f(x) dan garis y sama saat x=3. Kita tidak boleh menyamakan turunan f'(x) dengan posisi y, karena itu membandingkan besaran yang berbeda (gradien vs tinggi).

Saat dua kurva/garis bersinggungan, mereka berbagi satu titik koordinat yang identik, sehingga nilai y pada titik x tersebut sama untuk keduanya.