Program Linear Runtut: Batas & Optimasi

Menerjemahkan Tanda Ketaksamaan

Kata 'kapasitas' atau 'maksimal' diterjemahkan menjadi kurang dari atau sama dengan ($\le$) karena nilainya tidak boleh melebihi batas yang ada.

Ketika sebuah pesawat terbang memiliki daya tampung bagasi sebesar $1.200\text{ kg}$, artinya beban bagasi yang diangkut boleh kurang dari $1.200\text{ kg}$, boleh tepat $1.200\text{ kg}$, namun tidak diperbolehkan melebihi batas tersebut. Di dalam aljabar, batas atas seperti ini diikat menggunakan tanda ketaksamaan $\le$.

Setiap penumpang kelas utama membawa bagasi $40\text{ kg}$ (kita misalkan jumlah penumpangnya $x$) dan penumpang kelas ekonomi membawa $15\text{ kg}$ (jumlah penumpangnya $y$). Maka, total muatan bagasi adalah penjumlahan dari beban kedua kelas, yaitu $40x + 15y$. Karena daya angkut pesawat paling banyak $1.200\text{ kg}$, pertidaksamaan yang terbentuk adalah:

$$40x + 15y \le 1.200$$

Pertidaksamaan ini dapat disederhanakan dengan membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama, yaitu $5$:

$$\frac{40x}{5} + \frac{15y}{5} \le \frac{1.200}{5} \implies 8x + 3y \le 240$$

Penurunan aljabar ini membuktikan secara langsung bahwa Opsi A bernilai Benar.

Merangkai Daerah Penyelesaian

Daerah penyelesaian adalah wilayah irisan yang mematuhi semua pagar pembatas lahan sekaligus.

Ibarat membatasi sebidang lahan terbuka, setiap pertidaksamaan bertindak sebagai satu pagar lurus yang membelah bidang menjadi dua sisi. Titik koordinat yang kita izinkan berada di dalam sistem hanyalah titik yang berada di sisi aman dari seluruh pagar secara serentak.

Mari kita petakan batas-batas kendala pada bidang koordinat Cartesius ($x \ge 0, y \ge 0$):

1. Kendala kursi: $x + y \le 60$. Persamaan garis batasnya adalah $x + y = 60$. Jika $x = 0$, diperoleh $y = 60$ (titik potong $(0, 60)$). Jika $y = 0$, diperoleh $x = 60$ (titik potong $(60, 0)$).

2. Kendala bagasi: $8x + 3y \le 240$. Persamaan garis batasnya adalah $8x + 3y = 240$. Jika $x = 0$, diperoleh $y = \frac{240}{3} = 80$ (titik potong $(0, 80)$). Jika $y = 0$, diperoleh $x = \frac{240}{8} = 30$ (titik potong $(30, 0)$).

Kedua garis ini saling menyilang di kuadran pertama. Karena arah pertidaksamaan adalah "kurang dari atau sama dengan" ($\le$), daerah yang sah harus berada di bawah kedua garis tersebut:

• Pada sumbu-$y$, batas terluar terkunci di nilai terkecil antara $60$ dan $80$, yaitu titik $(0, 60)$. Kursi pesawat hanya ada $60$, sehingga titik $(0, 80)$ mustahil dicapai walaupun bagasinya masih cukup.

• Pada sumbu-$x$, batas terluar terkunci di nilai terkecil antara $60$ dan $30$, yaitu titik $(30, 0)$. Pesawat tidak bisa memuat lebih dari $30$ penumpang kelas utama karena bagasi akan langsung mencapai $1.200\text{ kg}$.

Wilayah irisan tertutup inilah yang kita sebut sebagai Daerah Penyelesaian.

Menghitung Titik Potong Dua Garis

Titik potong didapat dari penyelesaian sistem persamaan linear ketika kedua sumber daya terpakai penuh secara bersamaan.

Di perbatasan lahan, ada satu titik istimewa tempat bertemunya dua pagar pembatas: batas kapasitas tempat duduk dan batas kapasitas bagasi. Di titik ini, seluruh kursi pesawat terisi penuh ($x + y = 60$) dan kapasitas bagasi juga tepat habis tak bersisa ($8x + 3y = 240$).

Untuk mencari koordinat pertemuan dua garis tersebut secara eksak tanpa mengira-ngira pada grafik, kita selesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) secara runtut:

1. Nyatakan salah satu variabel dari garis kendala kursi:

   $$x + y = 60 \implies y = 60 - x$$

2. Substitusikan bentuk $y = 60 - x$ ke dalam persamaan garis kendala bagasi:

   $$8x + 3(60 - x) = 240$$

3. Jabarkan suku perkalian aljabarnya:

   $$8x + 180 - 3x = 240$$

4. Kumpulkan suku sejenis dan selesaikan nilai $x$:

   $$5x + 180 = 240 \implies 5x = 240 - 180 \implies 5x = 60 \implies x = 12$$

5. Substitusikan kembali nilai $x = 12$ ke persamaan variabel $y$:

   $$y = 60 - 12 \implies y = 48$$

Dengan demikian, kedua garis batas saling memotong tepat di titik $(12, 48)$, yang artinya mengangkut $12$ penumpang kelas utama dan $48$ penumpang kelas ekonomi akan menghabiskan seluruh kursi sekaligus seluruh kuota bagasi pesawat.