Membongkar Misteri Fungsi Linear

Menebak Bentuk Fungsi

Jika suatu fungsi membentuk garis lurus, rumusnya selalu berderajat satu atau fungsi linear.

Di dalam matematika, bentuk umum fungsi garis lurus dituliskan sebagai $g(x) = ax + b$, dengan $a$ dan $b$ berupa bilangan real serta $a \neq 0$. Soal juga memberi tahu bahwa jumlah kedua fungsi bernilai $g(x) + h(x) = 3x + 5$. Karena hasil akhirnya adalah garis lurus berderajat satu ($3x+5$) dan $g(x)$ juga berderajat satu, maka $h(x)$ tidak mungkin memiliki variabel berpangkat lebih tinggi seperti $x^2$ atau $x^3$. Jika $h(x)$ memuat suku kuadrat, suku tersebut tidak akan bisa dihilangkan oleh $g(x)$ sehingga hasil jumlahnya mustahil menjadi linear.

Dua mesin pabrik transparan berjejer paralel menerima input x dan mengeluarkan hasil ax+b dan px+q ke wadah bersama 3x+5

Dengan demikian, kita tahu pasti bahwa $h(x)$ juga merupakan fungsi linear. Kita dapat memisalkannya secara umum sebagai $h(x) = px + q$. Melalui pemisalan ini, permasalahan fungsi yang tadinya abstrak kini berubah menjadi misi mencari empat angka: $a$, $b$, $p$, dan $q$.

Diketahui $f(x)$ adalah fungsi linear. Jika $f(x) + k(x) = 2x^2 + 4$, bentuk fungsi $k(x)$ merupakan...

  • Fungsi linear
  • Fungsi kuadrat
  • Fungsi konstanta
  • Fungsi pangkat tiga

Jawaban: Fungsi kuadrat

Karena f(x) berderajat satu (linear) sedangkan hasil akhirnya memuat suku kuadrat 2x^2 + 4 (derajat dua), maka fungsi k(x) wajib memuat suku berderajat dua agar suku kuadrat tersebut dapat terbentuk. Jadi k(x) adalah fungsi kuadrat. Opsi A dan C salah karena tidak memunculkan x^2, sedangkan opsi D salah karena memunculkan x^3 yang tidak ada di hasil akhir.

Penentuan derajat fungsi berdasarkan hasil penjumlahannya

Merakit Komposisi Mesin

Komposisi dua fungsi linear menghasilkan kesamaan polinomial baru dengan derajat satu.

Sekarang kita menghubungkan kedua mesin secara bertingkat: notasi komposisi fungsi $(h \circ g)(x)$ bermakna $h(g(x))$. Nilai $x$ terlebih dahulu dimasukkan ke dalam mesin $g$ sehingga menghasilkan luaran $(ax + b)$. Luaran tersebut tidak langsung dibiarkan keluar, melainkan langsung diteruskan masuk sebagai bahan input pengganti variabel $x$ pada mesin $h$. Karena rumus mesin $h$ adalah $h(x) = px + q$, maka saat menerima input $(ax + b)$, bentuknya menjadi:

$$h(g(x)) = p(ax + b) + q = (pa)x + (pb + q)$$

Soal menyatakan bahwa hasil komposisi ini sama dengan $-(4x + 7)$, atau jika tanda kurung dibuka menjadi $-4x - 7$.

Berdasarkan prinsip kesamaan polinomial, jika dua ekspresi bernilai sama untuk setiap nilai $x$, maka bagian yang menempel pada variabel berpangkat sama harus bernilai setara, begitu pula dengan angka konstanta yang berdiri sendiri:

  1. Koefisien $x$: $pa = -4$

  2. Konstanta: $pb + q = -7$

Jika diketahui bentuk identitas $mx + n = 5x - 2$ berlaku untuk semua nilai $x$, kesimpulan yang tepat adalah...

  • m = 5 dan n = -2
  • m = -2 dan n = 5
  • m + n = 3
  • mn = -10x

Jawaban: m = 5 dan n = -2

Berdasarkan prinsip kesamaan polinomial pada mx + n = 5x - 2, koefisien yang menempel pada x di kedua ruas harus sama (m = 5) dan suku konstanta murni yang berdiri sendiri juga harus sama (n = -2). Opsi B terbalik posisinya, opsi C mencampurkan koefisien tanpa menyelesaikan variabel per posisi, dan opsi D tidak mencerminkan kesamaan koefisien.

Menyusun persamaan dari prinsip kesamaan polinomial

Informasi dari Penjumlahan

Menjumlahkan dua fungsi linear berarti mengelompokkan variabel $x$ dan angka konstanta masing-masing.

Selain informasi komposisi, kita memiliki informasi mengenai operasi penjumlahan kedua fungsi, yaitu $g(x) + h(x) = 3x + 5$. Karena kita telah memisalkan $g(x) = ax + b$ dan $h(x) = px + q$, kita dapat menjumlahkan kedua bentuk aljabar tersebut secara langsung:

$$g(x) + h(x) = (ax + b) + (px + q)$$

Agar bentuknya setara dengan ruas kanan ($3x + 5$), kita kelompokkan suku-suku yang sejenis. Kumpulkan suku-suku yang memuat variabel $x$ di satu kelompok kurung, lalu kumpulkan bilangan konstanta tanpa variabel di kelompok kurung lainnya:

$$(a + p)x + (b + q) = 3x + 5$$

Dengan menerapkan prinsip kesamaan polinomial yang sama persis seperti pada halaman sebelumnya, kita memperoleh dua persamaan baru:

  1. Penyamaan koefisien $x$: $a + p = 3$

  2. Penyamaan konstanta: $b + q = 5$