Batas Input Komposisi Dua Fungsi

Beda Bahan Mentah dan Produk

Domain adalah syarat bahan mentah yang dapat diproses, sedangkan range adalah hasil produksi yang keluar dari fungsi.

Sebelum menghubungkan dua fungsi sekaligus, kita perlu membedakan dengan tegas apa yang masuk dan apa yang keluar dari sebuah fungsi. Bayangkan fungsi seperti satu mesin pabrik pengolah kayu. Mesin ini memiliki spesifikasi ketat: ia hanya menerima balok kayu yang kering dan bersih. Benda apa pun yang boleh masuk dan diproses tanpa merusak mesin disebut domain (bahan mentah atau input). Jika kamu nekat memasukkan paku atau batu, mesin akan rusak seketika karena benda itu berada di luar domain.

Diagram blok analogi fungsi sebagai mesin pabrik dengan input domain dan output range

Setelah balok kayu masuk dan diproses, mesin mengeluarkan serbuk kayu ke dalam keranjang penampungan di ujung lainnya. Hasil olahan yang keluar dari corong pabrik ini disebut range (produk akhir atau output).

Pada soal awal, terdapat keterangan bahwa rentang dari $f(x)$ adalah $R_f = \{y \mid y \geq 0, y \in \mathbb{R}\}$. Angka tak negatif ($y \geq 0$) ini hanyalah label di keranjang produk akhir $f$, bukan aturan mengenai bahan mentah apa yang boleh dimasukkan sejak awal. Mengetahui label produk akhir tidak memberi tahu kita batasan bahan mentah yang boleh diterima mesin.

Dua Mesin yang Disambungkan

Fungsi komposisi adalah proses memindahkan produk setengah jadi dari fungsi pertama langsung menjadi input fungsi kedua.

Ketika dua mesin digabungkan secara seri di pabrik, kita mendapatkan sistem bertingkat. Operasi $(f \circ g)(x)$, yang dibaca sebagai $f(g(x))$, berarti Mesin G diletakkan di bagian depan dan Mesin F di bagian belakang. Bahan mentah awal $x$ pertama-tama masuk ke Mesin G. Setelah digiling, Mesin G mengeluarkan barang setengah jadi yang kita beri nama $g(x)$. Barang setengah jadi ini tidak dibawa pulang, melainkan langsung disalurkan lewat ban berjalan ke mulut Mesin F untuk diolah menjadi produk akhir.

Karena aliran ini berjalan estafet dan berurutan dari satu mesin ke mesin berikutnya, menentukan input awal tidak bisa dilakukan dengan operasi himpunan sembarangan:

Bukan gabungan (Opsi E): Menggabungkan domain $f$ dan domain $g$ sama sekali tidak masuk akal secara operasional, karena Mesin G tidak bisa menerima bahan mentah yang dirancang khusus untuk Mesin F.
Bukan irisan paralel (Opsi C): Irisan domain hanya berlaku pada operasi aljabar biasa yang berjalan berdampingan, seperti $(f + g)(x)$ atau $(f \cdot g)(x)$, di mana input $x$ yang sama dicabangkan langsung ke kedua mesin sekaligus. Pada komposisi, Mesin F sama sekali tidak menerima $x$ murni, melainkan menerima hasil bentukan $g(x)$.

Inspeksi Syarat Bertahap

Domain komposisi memerlukan bahan mentah yang diterima fungsi pertama dan hasilnya tidak merusak fungsi kedua.

Agar seluruh rangkaian pabrik berjalan mulus tanpa alarm berbunyi, setiap angka $x$ yang hendak dimasukkan harus lolos dua pos inspeksi ketat:

Pos Inspeksi 1 (Lolos Masuk Mesin G): Bahan mentah awal $x$ harus bisa diproses oleh mesin pertama. Artinya, $x$ wajib merupakan anggota dari domain $g(x)$ ($x \in D_g$). Jika dari pintu pertama saja sudah macet atau menyebabkan pembagian dengan nol, proses langsung batal.
Pos Inspeksi 2 (Lolos Masuk Mesin F): Barang setengah jadi yang keluar, yaitu $g(x)$, harus memenuhi syarat input mesin kedua. Artinya, nilai $g(x)$ wajib berada di dalam domain $f(x)$ ($g(x) \in D_f$). Jika mesin kedua membutuhkan input tak negatif namun $g(x)$ mengeluarkan nilai negatif, mesin kedua akan rusak.

Diagram Venn domain g dengan subhimpunan daerah aman yang masuk domain f

Dua pos inspeksi ini membongkar kekeliruan opsi-opsi lainnya:

Mengapa Opsi A salah: Domain komposisi tidak bisa disamakan begitu saja dengan domain $f(x)$, karena yang disuapkan ke mulut fungsi $f$ adalah hasil kerja $g(x)$, bukan nilai $x$ secara langsung.
Mengapa Opsi B salah: Memastikan $x$ berada di dalam domain $g(x)$ baru menyelesaikan Pos Inspeksi 1. Jika kita berhenti di sini, barang setengah jadi yang dihasilkan berpotensi merusak Mesin F di tahap berikutnya.

Oleh karena itu, kesimpulan yang tepat dan utuh adalah Opsi D: domain dari $(f \circ g)(x)$ merupakan himpunan bagian dari domain $g(x)$ dengan syarat tambahan bahwa keluaran $g(x)$ harus berada di dalam domain $f(x)$.