Menyambungkan Titik: Geometri, Substitusi, & Akar

Langkah 1: Jembatan Geometri ke Aljabar

Bayangkan dua jalan raya: satu jalan lurus yang membelah kota, dan satu lagi jalan melengkung seperti tapal kuda. Kalau kedua jalan itu berpotongan, apa artinya? Artinya, ada satu (atau dua) titik lokasi yang dimiliki bersama oleh kedua jalan tersebut.

Dalam matematika, saat garis lurus dan kurva parabola berpotongan, mereka berbagi nilai koordinat $x$ dan $y$ yang sama persis di titik potongnya!

Dari soal, kita punya dua aset penting:

  1. Garis lurus yang melalui titik asal $(0,0)$. Bentuk umumnya pasti $y = mx$, di mana $m$ adalah gradien (kemiringan) yang mau kita cari.

  2. Kurva parabola dengan persamaan $2y = 4x^2 - 2x + 1$.

Karena nilai $y$ di titik potong mereka sama, kita bisa langsung mensubstitusikan (memasukkan) $y = mx$ ke dalam persamaan kurva. Inilah jembatan yang mengubah masalah gambar (geometri) menjadi persamaan aljabar!

Jika sebuah garis $y = 3x$ memotong kurva $y = x^2 - 4$, langkah aljabar pertama apa yang paling tepat untuk mencari titik potongnya?

  • A. Menggambar kedua grafik di atas kertas milimeter blok
  • B. Mensubstitusikan $y = 3x$ ke persamaan kurva menjadi $3x = x^2 - 4$
  • C. Mencari nilai $x$ dari masing-masing persamaan secara terpisah
  • D. Mengkuadratkan persamaan garis menjadi $y^2 = 9x^2$

Jawaban: B. Mensubstitusikan $y = 3x$ ke persamaan kurva menjadi $3x = x^2 - 4$

Karena titik potong memiliki koordinat $y$ yang sama, kita bisa langsung menyamakan persamaannya lewat substitusi aljabar.

Titik potong dua grafik dicari dengan menyamakan/mensubstitusikan persamaannya karena mereka berbagi titik yang sama.

Langkah 2: Merapikan Arena Bermain

Setelah kita substitusi $y = mx$ ke dalam kurva $2y = 4x^2 - 2x + 1$, kita akan mendapatkan sebuah persamaan gabungan: $2(mx) = 4x^2 - 2x + 1$

Persamaan ini masih berantakan. Agar kita bisa menggunakan jurus-jurus persamaan kuadrat (seperti mencari jumlah akar), kita wajib merapikannya ke bentuk standar: $ax^2 + bx + c = 0$.

Sekarang arena bermain kita sudah rapi: $4x^2 - (2 + 2m)x + 1 = 0$

Dari sini kelihatan jelas siapa saja pemainnya:

Diberikan persamaan hasil substitusi: $3x^2 - 5x + kx - 7 = 0$. Jika kita ubah ke bentuk standar $ax^2 + bx + c = 0$, manakah nilai $b$ yang tepat?

  • A. $-5 + k$
  • B. $-(5 + k)$
  • C. $5 + k$
  • D. $5 - k$

Jawaban: A. $-5 + k$

Kelompokkan suku dengan $x$: $-5x + kx = (-5 + k)x$. Jadi koefisien $b$ adalah $-5 + k$.

Koefisien $b$ didapat dengan mengelompokkan semua suku yang mengandung variabel $x$ lalu memfaktorkannya.

Langkah 3: Membuka Kunci Jawaban

Kita sudah punya persamaan $4x^2 - (2 + 2m)x + 1 = 0$. Soal memberi kita petunjuk krusial: "jumlahan dari solusi $x$ adalah 12".

Apa maksudnya "solusi $x$"? Solusi $x$ adalah koordinat $x_1$ dan $x_2$ di mana garis dan kurva itu saling memotong. Rahasianya: kita tidak perlu repot-repot mencari angka $x_1$ dan $x_2$ satu per satu!

ilustrasi

Mari kita satukan kepingan puzzle-nya:

  1. Dari soal: $x_1 + x_2 = 12$

  2. Dari persamaan (Langkah 2): $a = 4$ dan $b = -(2 + 2m)$

Masukkan kepingan tersebut ke rumus jalan pintas tadi: $12 = -\frac{-(2 + 2m)}{4}$

Sekarang sisa aljabar biasa: $12 = \frac{2 + 2m}{4}$ $48 = 2 + 2m$ $46 = 2m$ $m = 23$

Selesai! Gradien garis ($m$) yang kita cari adalah $23$.

Jika diketahui jumlah solusi $x$ dari persamaan $2x^2 - (3+k)x + 5 = 0$ adalah 10, berapakah nilai $k$?

  • A. 7
  • B. 17
  • C. -17
  • D. 20

Jawaban: B. 17

Gunakan rumus jumlah akar $x_1 + x_2 = -b/a$. Maka $10 = -(-(3+k))/2$, yang berarti $20 = 3+k$, sehingga $k = 17$.

Rumus jumlah akar $x_1 + x_2 = -b/a$ (Teorema Vieta) dapat menjadi jalan pintas untuk mencari konstanta yang belum diketahui tanpa harus mencari akar-akarnya satu per satu.