Visualisasi Uji Titik Pertidaksamaan

Menggambar Garis Pembatas

Garis pembatas digambar dengan mencari titik potong sumbu pada sumbu-x dan sumbu-y. Dalam sistem pertidaksamaan, tanda pertidaksamaan diubah sementara menjadi tanda sama dengan ($=$) untuk membangun batas atau "pagar" wilayah.

Untuk menggambar batas dari $2x - y \ge 1$, kita gunakan persamaan garis $2x - y = 1$:

1. Titik potong sumbu-y: Terjadi ketika $x = 0$. Substitusikan ke persamaan:

   $$2(0) - y = 1 \implies -y = 1 \implies y = -1$$

   Didapat koordinat $(0, -1)$. Fakta ini secara langsung membuktikan bahwa Opsi C benar.

2. Titik potong sumbu-x: Terjadi ketika $y = 0$. Substitusikan ke persamaan:

   $$2x - 0 = 1 \implies 2x = 1 \implies x = 0{,}5$$

   Didapat koordinat $(0{,}5, 0)$.

Ketika kedua titik ini dihubungkan dengan garis lurus, terlihat jelas pada diagram bahwa garis tidak melalui titik pusat $(0,0)$. Mengetahui posisi garis batas ini sangat penting agar kita tidak keliru menempatkan titik uji nantinya.

Posisi Titik Terhadap Garis

Posisi sebuah titik (atas atau bawah) terhadap garis miring dapat dipastikan dengan membandingkan nilai $y$ titik tersebut dengan nilai $y$ pada garis di posisi $x$ yang sama. Mengandalkan perkiraan mata semata sering kali memicu kekeliruan, terutama pada garis miring yang curam.

Agar posisinya dapat dibuktikan secara analitis, ubah persamaan $2x - y = 1$ ke dalam bentuk eksplisit:

$$y = 2x - 1$$

Kini kita tinjau posisi vertikal pada koordinat absis $x = 0$:

• Pada garis $y = 2x - 1$, saat $x = 0$, nilai ordinatnya adalah $y = 2(0) - 1 = -1$.

• Sementara itu, titik uji kita yaitu $(0,0)$ sebagai "pos pengintai" memiliki nilai ordinat $y = 0$.

Karena $0 > -1$, maka titik $(0,0)$ terletak lebih tinggi dari garis pada garis vertikal yang sama. Artinya, titik $(0,0)$ secara pasti berada di atas garis $y = 2x - 1$.

Makna Hasil Uji Titik

Jika titik uji menghasilkan pernyataan yang salah, maka daerah penyelesaian berada di sisi seberang garis dari titik uji tersebut. Logika uji titik bekerja seperti mengirim pos pengintai: jika titik tersebut membuat pertidaksamaan bernilai benar, wilayah aman berada di sisi titik itu; sebaliknya, jika salah, wilayah aman berada di sisi seberang pagar pembatas.

Mari kita evaluasi kedua pertidaksamaan dengan titik uji $(0,0)$:

1. Pertidaksamaan $2x - y \ge 1$: Substitusikan $(0,0)$:

   $$2(0) - 0 \ge 1 \implies 0 \ge 1 \quad \text{(SALAH)}$$

   Sebelumnya kita sudah membuktikan bahwa titik $(0,0)$ berada di atas garis $2x - y = 1$. Karena hasil ujinya salah, maka titik $(0,0)$ bukan bagian dari penyelesaian. Akibatnya, daerah penyelesaian harus berada di sisi seberangnya, yaitu di bawah atau pada garis $2x - y = 1$. Ini membuktikan bahwa Opsi D salah (pernyataan Opsi D mengklaim daerahnya di atas garis).

2. Pertidaksamaan $x + y \le 5$: Garis batasnya adalah $x + y = 5$, atau $y = -x + 5$. Titik $(0,0)$ berada di bawah garis karena $0 < 5$. Substitusikan $(0,0)$ ke pertidaksamaan:

   $$0 + 0 \le 5 \implies 0 \le 5 \quad \text{(BENAR)}$$

   Karena bernilai benar, daerah penyelesaian memuat titik $(0,0)$, yaitu berada di bawah atau pada garis $x + y = 5$. Fakta ini membuktikan bahwa Opsi A benar.