Membedah Notasi Pecahan dan Persamaan Kuadrat

Akar Bilangan Desimal Berkuadrat

Persamaan kuadrat variabel dengan hasil konstanta positif akan selalu memiliki dua kemungkinan nilai akar: satu positif dan satu negatif.

Ketika menghadapi persamaan kuadrat dengan konstanta desimal seperti $u^2 = 6{,}25$, langkah aljabar paling aman adalah mengubah desimal menjadi pecahan biasa. Angka $6{,}25$ memiliki dua angka di belakang koma, sehingga dapat dituliskan sebagai pecahan perseratus:

$$u^2 = \frac{625}{100}$$

Saat menarik akar kuadrat pada kedua ruas aljabar, kita mencari semua bilangan real yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri menghasilkan $\frac{625}{100}$. Karena bilangan negatif jika dikuadratkan menghasilkan bilangan positif, terdapat dua nilai yang memenuhi:

$$u = \pm \sqrt{\frac{625}{100}} = \pm \frac{\sqrt{625}}{\sqrt{100}} = \pm \frac{25}{10} = \pm 2{,}5$$

Dengan demikian, langkah aljabar murni menghasilkan dua kandidat nilai variabel: $u = 2{,}5$ atau $u = -2{,}5$.

Menerjemahkan Kalimat Notasi Matematika

Kalimat operasi yang panjang sering kali bisa diterjemahkan menjadi selisih variabel dengan bilangan bulat pertama yang ada di sebelah kirinya pada garis bilangan.

Perhatikan uraian definisi lambang $\{a\}$ pada teks soal secara cermat:

• "bilangan real $a$" merupakan nilai input yang kita amati.

• "bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan $a$" adalah instruksi penentuan titik acuan: pada garis bilangan, kita mencari titik bilangan bulat terdekat di sebelah kiri $a$ (atau tepat di titik $a$ jika $a$ itu sendiri merupakan bilangan bulat). Misalkan titik acuan ini kita beri lambang $b$.

• "selisih antara bilangan real $a$ dan $b$" berarti operasi aljabar pengurangan murni: $a - b$.

Pada soal, diketahui syarat $\{u\} = 0{,}5$. Artinya, ketika nilai kandidat $u$ dikurangi dengan bilangan bulat terdekat di sebelah kirinya, hasil pengurangannya harus tepat bernilai $0{,}5$.

Bilangan Bulat pada Garis Bilangan Negatif

Untuk bilangan negatif, bilangan bulat di sebelah kirinya memiliki angka mutlak yang lebih besar (lebih negatif), sehingga nilai selisih bisa tetap bernilai positif.

Diagram di atas menyajikan susunan bilangan pada garis bilangan. Mari kita uji kedua kandidat nilai $u$ secara sistematis:

1. Menguji kandidat positif: $u = 2{,}5$ Titik $2{,}5$ terletak di antara $2$ dan $3$. Bilangan bulat terbesar yang berada di sebelah kiri atau sama dengan $2{,}5$ adalah $2$. Selisih aljabarnya adalah:

$$\{2{,}5\} = 2{,}5 - 2 = 0{,}5$$

Nilai ini tepat memenuhi syarat $\{u\} = 0{,}5$.

2. Menguji kandidat negatif: $u = -2{,}5$ Titik $-2{,}5$ terletak di antara $-3$ dan $-2$. Karena "lebih kecil" pada garis bilangan berarti berada semakin ke arah kiri, maka bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan $-2{,}5$ adalah $-3$, bukan $-2$. Selisih aljabarnya dihitung sebagai berikut:

$$\{-2{,}5\} = -2{,}5 - (-3) = -2{,}5 + 3 = 0{,}5$$

Hasilnya tetap tepat bernilai $0{,}5$, sehingga nilai $u = -2{,}5$ juga memenuhi syarat!

Karena kedua nilai $u = 2{,}5$ dan $u = -2{,}5$ sama-sama terbukti sah dan pasti secara aljabar, kita tidak perlu ragu memilih Opsi D ("Tidak dapat ditentukan"), sebab kedua nilai ini dapat dievaluasi secara pasti pada langkah berikutnya.