Persamaan Diophantine: Senjata Sisa Bagi
Mitos n Variabel = n Persamaan
Tidak semua soal aljabar wajib memiliki jumlah persamaan yang sama dengan jumlah variabelnya, asalkan ada syarat khusus seperti harus bilangan bulat.
Dalam aljabar klasik sekolah, kita sering diajarkan aturan umum: jika ada tiga variabel yang belum diketahui ($a, b, c$), kita membutuhkan tiga persamaan independen untuk menyelesaikannya. Tanpa tiga persamaan, sistem linear umumnya memiliki tak hingga kemungkinan penyelesaian berupa bilangan riil atau pecahan desimal. Namun, dalam persoalan kehidupan nyata seperti belanja buah di kasir, buah tidak mungkin dibeli dalam pecahan $0{,}47$ atau bilangan negatif. Di sinilah hadir konsep Persamaan Diophantine, yaitu persamaan aljabar yang solusinya dibatasi secara ketat hanya pada himpunan bilangan bulat.
Ketika Wati membeli buah pepaya ($a$), melon ($b$), dan durian ($c$) dengan harga masing-masing $11$ ribu, $22$ ribu, dan $23$ ribu rupiah, total belanjaannya adalah $515$ ribu rupiah. Hubungan ini dimodelkan menjadi satu persamaan tunggal:
$$11a + 22b + 23c = 515$$
Meski hanya ada satu persamaan untuk tiga variabel, batasan bahwa $a, b, c$ harus bilangan bulat non-negatif membatasi secara ekstrem kombinasi yang mungkin terjadi. Mencoba memasukkan angka opsi satu per satu langsung ke persamaan tiga variabel ini tanpa strategi tentu sangat menguras waktu ujian. Kunci menaklukkannya adalah melihat hubungan tersembunyi di antara angka-angka pengalinya.
Budi membeli dua jenis prangko seharga 5 ribu dan 8 ribu rupiah dengan total biaya tepat 73 ribu rupiah. Mengapa Budi tidak memerlukan informasi atau persamaan tambahan untuk mengetahui kemungkinan jumlah masing-masing prangko yang ia beli?
- Karena 5 ribu dan 8 ribu memiliki selisih yang konstan yaitu 3 ribu.
- Karena jumlah prangko pasti berupa bilangan bulat utuh, membatasi kombinasi tebakan yang valid.
- Karena total belanjaan 73 ribu adalah bilangan ganjil sehingga pasti bisa dipecahkan.
- Sebenarnya Budi harus menebak secara acak karena kekurangan variabel bantu.
Jawaban: Karena jumlah prangko pasti berupa bilangan bulat utuh, membatasi kombinasi tebakan yang valid.
Jawaban B benar karena dalam dunia nyata, lembaran prangko tidak bisa dibeli dalam pecahan atau desimal. Batasan bilangan bulat non-negatif inilah yang membuat persamaan Diophantine memiliki jumlah solusi yang sangat terbatas, sehingga kombinasi belanjaannya dapat ditentukan meski hanya ada 1 persamaan. Opsi A dan C salah karena selisih nilai koefisien maupun sifat ganjil-genap total belanjaan bukan syarat penentu ketercukupan sistem persamaan Diophantine. Opsi D salah karena batasan bilangan bulat justru memberi kita informasi matematis yang cukup kuat tanpa perlu menebak acak.
Memahami bahwa soal dengan objek benda fisik sering kali mengisyaratkan syarat bilangan bulat, sehingga bisa diselesaikan tanpa persamaan tambahan.
Mencari Pola Koefisien
Mengelompokkan variabel yang memiliki faktor persekutuan akan menyederhanakan persamaan kompleks menjadi bentuk yang bisa dianalisa.
Bayangkan kita berbelanja hanya berbekal lembaran uang 11 ribuan. Jika sebuah pepaya berharga $11$ ribu rupiah, kita membayarnya pas dengan $1$ lembar uang khusus ini. Jika sebuah melon berharga $22$ ribu rupiah, kita membayarnya pas dengan $2$ lembar uang khusus tersebut. Baik pepaya maupun melon sama-sama tersusun dari satuan dasar kelipatan $11$.
Secara aljabar, kita perhatikan koefisien dari variabel $a$ dan $b$ pada persamaan belanjaan Wati:
$$11a + 22b + 23c = 515$$
Dua suku pertama memiliki faktor persekutuan $11$. Kita dapat memfaktorkannya keluar:
$$11(a + 2b) + 23c = 515$$
Karena jumlah pepaya ($a$) dan melon ($b$) adalah bilangan bulat, maka nilai kombinasi $(a + 2b)$ juga pasti menghasilkan bilangan bulat. Kita bisa memisalkan $m = a + 2b$, di mana $m$ merepresentasikan total lembaran paket $11$ ribuan yang dipakai untuk kedua buah tersebut. Persamaan kita kini menyusut drastis:
$$11m + 23c = 515$$
Hanya dengan satu langkah pengelompokan faktor, persoalan rumit dengan tiga variabel telah disederhanakan menjadi persamaan dua variabel yang jauh lebih mudah dipecahkan.
Diberikan persamaan 7x + 14y + 15z = 100 dengan x, y, z adalah bilangan bulat non-negatif. Bagian mana dari persamaan tersebut yang bisa disatukan ke dalam satu variabel bulat baru?
- 7x + 14y karena keduanya habis dibagi 7.
- 14y + 15z karena nilainya saling berdekatan.
- 7x + 15z karena penjumlahan koefisiennya 22 (genap).
- Semua variabel tidak bisa disatukan karena tidak ada yang persis sama angkanya.
Jawaban: 7x + 14y karena keduanya habis dibagi 7.
Jawaban A benar karena koefisien 7 dan 14 memiliki faktor persekutuan terbesar yaitu 7. Bentuk 7x + 14y dapat difaktorkan menjadi 7(x + 2y), sehingga kita bisa memisalkan p = x + 2y sebagai variabel bulat baru, mereduksi persamaan menjadi 7p + 15z = 100. Opsi B salah karena kedekatan angka aritmetika tidak memungkinkan pemfaktoran aljabar. Opsi C salah karena sifat paritas (jumlah genap) tidak menghasilkan kelipatan yang bisa dikeluarkan. Opsi D salah karena variabel tidak perlu berkoefisien kembar identik untuk bisa difaktorkan, asalkan berbagi faktor persekutuan.
Mengidentifikasi koefisien yang memiliki faktor persekutuan terbesar untuk menyederhanakan variabel.
Analisa Sisa Bagi (Keterbagian)
Persamaan Diophantine dapat diselesaikan dengan memanipulasi bentuk pecahan aljabarnya dan mencari nilai yang membuat pembagian bersisa nol.
Setelah memperoleh persamaan sederhana $11m + 23c = 515$, kita isolasi variabel $m$ untuk melihat syarat kelipatan yang harus dipenuhi oleh durian ($c$):
$$11m = 515 - 23c \implies m = \frac{515 - 23c}{11}$$
Karena $m$ mewakili jumlah paket buah yang bernilai bulat utuh, maka ekspresi pembilang $(515 - 23c)$ harus memiliki sifat keterbagian oleh $11$, yang artinya hasil pembagiannya tidak boleh menghasilkan sisa pecahan desimal.
Untuk memisahkan mana bagian yang sudah terjamin bulat dan mana bagian penentunya, kita dekomposisi pembilangnya ke kelipatan $11$ terdekat. Perhatikan bahwa $517$ adalah kelipatan $11$ terdekat dari $515$ ($517 = 11 \times 47$), dan $22$ adalah kelipatan $11$ terdekat dari $23$:
$$515 = 517 - 2$$
$$23c = 22c + c$$
Substitusikan pemisahan ini ke dalam pecahan:
$$m = \frac{(517 - 2) - (22c + c)}{11} = \frac{(517 - 22c) - (2 + c)}{11}$$
$$m = \frac{517 - 22c}{11} - \frac{2 + c}{11} = (47 - 2c) - \frac{2 + c}{11}$$
Suku $(47 - 2c)$ sudah terjamin menghasilkan bilangan bulat untuk setiap $c$ bulat. Maka, kunci utama agar seluruh nilai $m$ menjadi bilangan bulat kini terletak sepenuhnya pada suku pecahannya: bentuk $(2 + c)$ harus habis dibagi oleh $11$.
Agar bentuk pecahan (100 - 16k) / 7 menjadi bilangan bulat, seseorang memecahnya menjadi bentuk (98 - 14k)/7 + (2 - 2k)/7. Apa syarat paling akhir agar keseluruhan hasil pecahan tersebut menjadi bilangan bulat?
- Nilai k haruslah angka genap agar membatalkan pengurangan 14k.
- Angka pembilangnya (100 - 16k) harus berakhir dengan angka kelipatan 7.
- Bentuk (2 - 2k) harus bisa habis dibagi oleh 7.
- Bentuk (98 - 14k) harus bernilai nol.
Jawaban: Bentuk (2 - 2k) harus bisa habis dibagi oleh 7.
Jawaban C benar karena suku (98 - 14k)/7 sudah dipastikan menghasilkan bilangan bulat, yaitu (14 - 2k) untuk setiap k bulat. Oleh karena itu, agar keseluruhan hasil pecahan bernilai bulat, suku pecahannya yaitu (2 - 2k)/7 juga harus bernilai bulat, yang berarti pembilang (2 - 2k) harus habis dibagi 7. Opsi A salah karena nilai k ganjil pun bisa memenuhi selama pembilangnya kelipatan 7 (misal k = 1 menghasilkan 0, yang habis dibagi 7). Opsi B salah karena keterbagian 7 tidak ditentukan oleh digit terakhir pembilang. Opsi D salah karena suku yang sudah bulat tidak perlu bernilai nol untuk menjaga kebulatan hasil akhir.
Memahami bahwa memanipulasi pembilang dengan kelipatan terdekat pembagi akan mengisolasi suku sisa yang menentukan kebulatan.