Menautkan Akar Kuadrat dan Barisan Geometri

Beda Tangga dan Lipatan

Suku tengah barisan aritmetika adalah rata-rata, sedangkan pada barisan geometri, kuadrat suku tengah adalah hasil kali suku pengapitnya.

Bayangkan anak tangga: jarak ketinggian dari satu anak tangga ke anak tangga berikutnya bertambah secara tetap lewat penjumlahan ($+b$). Oleh karena itu, jika ada tiga anak tangga berurutan $a, b, c$, pijakan tengah $b$ tepat berada di tengah-tengah secara rata-rata nilai, yaitu $b = \frac{a+c}{2}$. Sebaliknya, barisan geometri bekerja seperti melipat selembar kertas: setiap lipatan membuat ketebalan atau area berlipat ganda lewat perkalian ($\times r$). Karena perbandingan atau rasio suku berurutan selalu tetap:

$$r = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} \implies b^2 = ac$$

Pertumbuhan perkalian menghasilkan bentuk kurva yang melesat, bukan garis lurus. Jebakan paling umum saat melihat tiga suku berurutan adalah langsung menjumlahkannya lalu membaginya dengan dua. Untuk barisan geometri, aturan mainnya adalah perkalian: kuadrat suku tengah sama dengan hasil kali kedua ujungnya.

Diberikan tiga bilangan x, y, z yang membentuk barisan geometri. Tentukan kebenaran pernyataan berikut mengenai hubungan ketiga bilangan tersebut!

  • Nilai y selalu sama dengan (x+z)/2. — Salah
  • Kuadrat dari y sama dengan hasil kali x dan z. — Benar

Pada barisan geometri $x, y, z$, perbandingan suku berurutan selalu konstan: $\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$. Jika kedua ruas dikali silang, diperoleh sifat kuadrat suku tengah: $y^2 = xz$. Sebaliknya, hubungan $y = \frac{x+z}{2}$ adalah sifat suku tengah barisan aritmetika (rata-rata), bukan barisan geometri.

Sifat suku tengah pada barisan geometri: kuadrat suku tengah sama dengan hasil kali suku pengapitnya (y^2 = xz).

Menggali Informasi dari Persamaan

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat langsung diketahui dari perbandingan koefisien konstanta dan koefisien kuadratnya.

Dalam menyelesaikan soal matematika terpadu, kita tidak perlu membongkar dan mencari akar persamaan kuadrat satu per satu jika koefisiennya masih memuat variabel yang belum diketahui. Ingat kembali Teorema Vieta: untuk persamaan kuadrat berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$, perkalian kedua solusinya ($x_1 \cdot x_2$) berhubungan langsung dengan koefisien:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Pada persamaan kuadrat di soal, yaitu $x^2 - (2t^2-t-1)x + (3t+4) = 0$ dengan akar-akar $p$ dan $q$, kita identifikasi koefisien-koefisiennya:

Diberikan persamaan kuadrat $2x^2 - 5x + (k-1) = 0$ dengan akar-akar $m$ dan $n$. Berapakah nilai dari $m \cdot n$?

  • (k-1)/2
  • k-1
  • 5/2
  • -5/2

Jawaban: (k-1)/2

Berdasarkan Teorema Vieta, untuk persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$, hasil kali kedua akarnya dirumuskan sebagai $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Pada persamaan $2x^2 - 5x + (k-1) = 0$, diketahui $a=2$ dan $c=(k-1)$, sehingga $m \cdot n = \frac{k-1}{2}$. Opsi B salah karena lupa membagi dengan koefisien $a=2$, sedangkan Opsi C dan D keliru karena tertukar dengan rumus jumlah akar $-\frac{b}{a}$.

Teorema Vieta untuk hasil kali akar persamaan kuadrat: x_1 * x_2 = c/a.

Menyatukan Kerangka dan Bahan

Substitusi nilai dari Teorema Vieta ke dalam sifat barisan geometri akan menghasilkan persamaan baru untuk mencari nilai variabel yang belum diketahui.

Sekarang kita sambungkan kerangka barisan geometri dengan bahan baku yang kita dapatkan dari persamaan kuadrat:

  1. Dari kerangka barisan geometri: $t^2 = pq$

  2. Dari bahan baku Teorema Vieta: $pq = 3t+4$

Substitusikan nilai $pq$ ke dalam persamaan kerangka:

$$t^2 = 3t+4$$

Pindahkan semua suku ke ruas kiri untuk menyusun persamaan kuadrat dalam variabel $t$:

$$t^2 - 3t - 4 = 0$$

Faktorkan persamaan tersebut untuk mencari kemungkinan nilai $t$:

$$(t - 4)(t + 1) = 0 \implies t = 4 \quad \text{atau} \quad t = -1$$

Sebuah proses aljabar menghasilkan dua nilai untuk variabel $y$, yaitu $y = 5$ dan $y = -2$. Jika di awal soal dinyatakan bahwa $y$ merepresentasikan panjang sisi sebuah segitiga, nilai manakah yang dapat digunakan untuk langkah selanjutnya?

  • Hanya y = 5
  • Hanya y = -2
  • Keduanya bisa digunakan
  • Tidak ada yang bisa digunakan

Jawaban: Hanya y = 5

Meskipun proses aljabar menghasilkan dua nilai kandidat ($y=5$ dan $y=-2$), variabel $y$ merepresentasikan besaran fisik berupa panjang sisi segitiga yang nilainya harus lebih besar dari nol ($y > 0$). Oleh karena itu, kandidat negatif $y=-2$ gugur dan hanya $y=5$ yang valid. Pengecoh B dan C salah karena mengabaikan konteks batasan nilai, sedangkan Opsi D salah karena persamaan memang memiliki satu solusi yang absah.

Pentingnya batasan domain dalam menyeleksi solusi aljabar.