Bongkar Pasang Pecahan Berpangkat

Mengurus Pangkat Luar Kurung

Pangkat negatif pada pecahan keseluruhan dapat dibereskan dengan membalik posisi atas dan bawah pecahan tersebut.

Menyederhanakan aljabar itu seperti membongkar isi tas tertutup: kita membeberkan barang-barangnya satu per satu di meja sebelum menatanya kembali ke kotak baru yang lebih rapi, tanpa sihir atau rumus instan. Ketika tas kita dikunci oleh pangkat $-1$ di bagian luar kurung, kunci pembukanya sangat sederhana: balikkan saja seluruh posisi pecahan dari atas ke bawah.

Seperti yang kamu tahu, bentuk berpangkat minus satu sama dengan membalik posisinya dari atas ke bawah. Ini adalah langkah pertama yang paling jitu:

$$\left( \frac{m^4 n^{-1}}{27 m^7 n^2} \right)^{-1} = \frac{27 m^7 n^2}{m^4 n^{-1}}$$

Terapkan ini pada ekspresi penuh di soal: seluruh isi yang tadinya di penyebut (bawah) pindah ke pembilang (atas), dan sebaliknya. Perhatikan bahwa angka $27$ yang awalnya di bawah sekarang sudah duduk manis di atas, dan pangkat minus luar sudah hilang. Ini fondasi penting kita sebelum mulai membereskan huruf-hurufnya.

Jika sebuah pecahan aljabar $\left(\frac{2a^3b^{-2}}{5c^4}\right)^{-1}$ ingin dihilangkan pangkat negatif luarnya, bagaimana bentuk perubahan posisi yang benar?

Posisi tetap, tetapi semua pangkat di dalamnya dikalikan negatif satu.
Posisi atas dan bawahnya ditukar tanpa mengubah pangkat di dalam masing-masing variabel.
Hanya angka koefisien yang dipindah, hurufnya tetap di tempat.
Tanda pecahannya hilang dan susunannya menjadi berjajar.

Jawaban: Posisi atas dan bawahnya ditukar tanpa mengubah pangkat di dalam masing-masing variabel.

Pangkat luar minus satu pada suatu kurung pecahan berfungsi membalikkan posisi pembilang dan penyebut secara utuh. Nilai pangkat dari masing-masing variabel di dalamnya tetap sama pada saat pembalikan dilakukan.

Sifat invers mengubah posisi komponen pecahan utuh.

Mencoret Huruf yang Sama

Membagi variabel dengan huruf yang sama dilakukan dengan menjabarkannya satu per satu dan mencoret pasangan atas-bawah.

Sekarang kita urus variabel huruf $m$ dan $n$. Daripada pusing menghafal aturan kurang-kurangan rumus yang rawan selip tanda, kita beberkan saja barangnya di meja secara manual.

Untuk huruf $m$: di atas ada $m^7$, di bawah ada $m^4$. Kalau kita jejerkan perkaliannya:

Di atas ada $7$ buah $m$: $m \times m \times m \times m \times m \times m \times m$
Di bawah ada $4$ buah $m$: $m \times m \times m \times m$

Ketika kita coret $4$ pasang $m$ yang sejajar atas dan bawah (karena bilangan dibagi dirinya sendiri bernilai $1$), tersisa $3$ buah $m$ di atas meja lantai atas, yaitu $m^3$.

Untuk huruf $n$: posisinya sekarang ada $n^2$ di atas dan $n^{-1}$ di bawah. Ingat prinsip bongkar tas tadi: barang yang berpangkat minus di bawah artinya posisinya terbalik. Pindahkan si $n^{-1}$ ini ke lantai atas agar pangkatnya menjadi positif $n^1$.

Setelah pindah ke atas, jejerkan manual: ada dua buah $n$ yang sudah menunggu ditambah satu buah $n$ yang baru pindah. Keduanya langsung saling mengalikan:

$$n \times n \times n = n^3$$

Semua huruf berhasil kita rapikan menjadi $m^3$ dan $n^3$ di lantai atas tanpa menyisakan pecahan yang rumit.

Tentukan kebenaran dari masing-masing pernyataan berikut terkait perlakuan pangkat negatif pada pecahan:

Variabel x berpangkat minus dua di posisi bawah bisa dipindah ke atas menjadi x pangkat dua. — Benar
Jika memindah huruf dari bawah ke atas, koefisien angkanya otomatis ikut pindah. — Salah

Suku berpangkat negatif di penyebut (seperti $x^{-2}$) berpindah ke pembilang menjadi berpangkat positif ($x^2$). Namun, perpindahan ini hanya berlaku untuk suku yang memuat pangkat negatif tersebut, koefisien angka yang tidak berpangkat negatif tetap diam di tempatnya.

Memindahkan variabel berpangkat negatif dari bawah ke atas mengubahnya menjadi perkalian dengan pangkat positif.

Menyatukan Bongkaran

Semua elemen yang sudah disederhanakan disatukan kembali untuk membentuk satu ekspresi utuh yang stabil.

Kita sudah berhasil membereskan komponen-komponen yang terpisah: angka $27$, huruf $m$, dan huruf $n$. Saatnya menata kepingan ini ke kotak baru yang rapi.

Diagram penggabungan koefisien 27 dan variabel m serta n menjadi ekspresi utuh 27m³n³.

Gabungkan semua hasil akhir dari pembongkaran meja tadi:

Koefisien angkanya adalah $27$ (tidak tersentuh pembagian apa pun karena penyebutnya tinggal variabel).
Variabel $m$ yang tersisa ada $3$ buah, yaitu $m^3$.
Variabel $n$ yang terkumpul ada $3$ buah, yaitu $n^3$.

Susun berdampingan menjadi ekspresi padat:

$$27m^3n^3$$

Perhatikan baik-baik: koefisien aslinya tetap $27$, tidak disulap menjadi $9$ atau angka lainnya. Ini adalah patokan kebenaran mutlak kita untuk menilai kesetaraan ekspresi lain.

Di soal asli, Opsi C menyatakan bahwa pernyataan (2) dan (4) bernilai setara, padahal pernyataan tersebut memuat angka $9$ dan $81$. Karena patokan sejati yang kita peroleh jelas bernilai $27$, Opsi C otomatis salah arah.