Menyusun Parabola dari Puncaknya

Logika Tanda Minus

Untuk menggeser grafik parabola ke kanan sumbu-$x$, kita justru harus mengurangi nilai $x$ pada persamaannya.

Ketika kita menggeser stempel kurva dasar sejauh $2$ satuan ke kanan (menuju $x = 2$), kita membutuhkan suatu ekspresi yang jika dimasukkan nilai $x = 2$, hasil kuadratnya tetap menghasilkan $0$. Hal ini tercapai jika bagian di dalam kurung berbentuk $(x - 2)$, karena saat $x = 2$, nilai $(2 - 2)^2 = 0^2 = 0$. Inilah alasan mendasar mengapa pergeseran horizontal menggunakan rumus $(x - x_p)^2$ dengan tanda minus.

Sementara itu, pergeseran vertikal pada sumbu-$y$ bekerja secara langsung: jika kurva diturunkan sejauh $9$ satuan ke bawah, kita cukup menuliskan $-9$ di luar tanda kuadrat. Dengan demikian, jika grafik pada soal memiliki titik puncak di koordinat $(2, -9)$, kerangka persamaannya adalah $(x - 2)^2 - 9$, bukan $(x + 2)^2 - 9$.

Cobalah geser slider di atas ke arah positif (kanan). Perhatikan bahwa angka di dalam kurung kurva justru bertanda minus. Sebaliknya, saat digeser ke arah negatif (kiri), rumusnya berubah menjadi tanda plus.

Menyusun Kerangka Persamaan

Titik puncak memberi kita kerangka persamaan yang letaknya tepat, tetapi kita butuh tahu seberapa lebar 'bukaan' parabolanya.

Setelah paham logika tanda minus pada posisi puncak, dari titik puncak $(2, -9)$ kita dapat menyusun kerangka persamaan kuadrat berbentuk:

$$y = a(x - 2)^2 - 9$$

Variabel $a$ di depan kurung mewakili peregangan atau tingkat bukaan kurva. Jika nilai $a$ positif ($a > 0$), parabola akan terbuka ke atas. Sebaliknya, jika nilai $a$ negatif ($a < 0$), kurva akan terbalik membuka ke bawah. Selain arah, nilai mutlak $a$ menentukan lebar kurva: semakin besar $|a|$, kurva akan semakin merapat atau menyempit; semakin kecil $|a|$, kurva semakin melebar.

Tanpa mencari nilai $a$, kita belum bisa mengunci persamaan parabola tersebut secara tunggal, karena ada tak terhingga bentuk parabola yang bisa melalui titik puncak yang sama persis.

Mencari Faktor Pelebaran

Nilai konstanta $a$ ditemukan dengan memasukkan koordinat sembarang titik lain yang dilalui grafik ke dalam kerangka persamaan.

Untuk mengunci bukaan kurvanya lewat nilai $a$, kita memerlukan satu titik acuan tambahan. Berdasarkan gambar pada soal, grafik memotong sumbu-$y$ di titik $(0, -5)$. Titik ini menjadi kunci untuk menyelesaikan nilai $a$.

Kita substitusikan nilai $x = 0$ dan $y = -5$ ke dalam kerangka persamaan yang sudah kita buat sebelumnya:

$$\begin{aligned} y &= a(x - 2)^2 - 9 \\ -5 &= a(0 - 2)^2 - 9 \\ -5 &= a(-2)^2 - 9 \\ -5 &= 4a - 9 \end{aligned}$$

Pindahkan nilai $-9$ ke ruas kiri:

$$\begin{aligned} -5 + 9 &= 4a \\ 4 &= 4a \\ a &= 1 \end{aligned}$$

Setelah nilai $a = 1$ terkunci, kita substitusikan kembali ke kerangka awal dan jabarkan bentuk kuadratnya:

$$\begin{aligned} y &= 1(x - 2)^2 - 9 \\ y &= (x^2 - 4x + 4) - 9 \\ y &= x^2 - 4x - 5 \end{aligned}$$

Sekarang kita telah memperoleh persamaan kurva kuadrat yang lengkap dan utuh.