Geometri 3D: Trik Segitiga Bantu

Jarak Selalu Tegak Lurus

Jarak terpendek dari sebuah titik ke sebuah garis selalu merupakan garis yang memotong tegak lurus.

Bayangkan kamu sedang mendirikan tenda dan ingin mengukur jarak dari puncak tiang ke seutas tali di tanah. Jika kamu menarik tali ukur miring ke sembarang tempat, lintasannya pasti lebih panjang. Jalur paling efisien dan paling pendek hanya tercipta saat tali ukur tersebut membentuk sudut siku-siku $90^\circ$ terhadap tali tujuan.

Dalam geometri, garis tegak lurus dari titik ke garis tujuan ini dinamakan proyeksi ortogonal. Miskonsepsi yang paling sering muncul adalah mengira bahwa garis jarak otomatis jatuh tepat di titik tengah garis tujuan. Garis tegak lurus hanya memotong persis di tengah jika segitiga yang terbentuk adalah segitiga sama kaki terhadap sisi alas tersebut. Jika bentuk segitiganya sembarang, titik potong tegak lurus akan bergeser menjauhi bagian tengah.

Membongkar Kubus 3D

Untuk menghitung jarak di dalam kubus, kita harus mengekstrak bidang bantu 2D yang memuat titik asal dan garis tujuan.

Mencoba mengukur jarak langsung di dalam ruang bangun tiga dimensi sering kali membuat bingung karena ilusi perspektif visual. Kunci utamanya adalah mereduksi dimensi ruang: carilah tiga titik kunci pada soal, lalu hubungkan ketiganya menjadi sebuah segitiga. Dalam soal ini, titik yang dituju adalah $A$ dan garis tujuannya adalah $HL$, sehingga titik-titik pembentuk bidang bantunya adalah $A$, $H$, dan $L$.

Setelah segitiga $AHL$ terbentuk di dalam kerangka kubus, kita "keluarkan" bidang segitiga ini menjadi gambar datar dua dimensi. Begitu berada di bidang 2D, kita tidak perlu lagi pusing memikirkan kedalaman ruang kubus 3D, melainkan cukup memperlakukan masalah ini sebagai pencarian garis tinggi segitiga biasa.

Persenjatai Segitigamu: Pythagoras

Sebelum bisa memakai trik perbandingan luas, panjang seluruh sisi segitiga bantu harus diketahui lebih dulu.

Untuk melengkapi ukuran segitiga $AHL$, kita perlu menghitung panjang ketiga sisinya satu per satu menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang relevan di dalam kubus:

1. Sisi $AH$: Merupakan diagonal bidang sisi samping $ADHE$. Dari segitiga siku-siku $ADH$ dengan rusuk $a$, didapatkan:

   $$AH = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$

2. Sisi $HL$: Titik $L$ berada pada perpanjangan rusuk $CG$ sehingga panjang $GL = a$. Pada segitiga siku-siku $HGL$ (siku-siku di $G$) dengan rusuk atas $HG = a$ dan tinggi $GL = a$:

   $$HL = \sqrt{HG^2 + GL^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$

3. Sisi $AL$: Dihitung dari segitiga siku-siku $ACL$ (siku-siku di $C$). Sisi alas $AC$ adalah diagonal bidang alas bernilai $a\sqrt{2}$. Sisi tegak $CL$ adalah gabungan rusuk $CG$ dan perpanjangannya $GL$, sehingga panjang $CL = a + a = 2a$.

   $$AL = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (2a)^2} = \sqrt{2a^2 + 4a^2} = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6}$$

Karena panjang $AH = HL = a\sqrt{2}$, segitiga $AHL$ terbukti merupakan segitiga sama kaki dengan sisi alas $AL = a\sqrt{6}$.