Vektor Tegak Lurus & Panjangnya

Tegak Lurus & Perkalian Titik

Dua vektor yang tegak lurus selalu memiliki hasil perkalian titik (dot product) sama dengan nol.

Bayangkan sistem koordinat GPS: arah horizontal mewakili sumbu barat–timur dan arah vertikal mewakili sumbu selatan–utara. Perkalian titik bekerja seperti pengukur keselarasan gerak. Jika dua arah saling melintang tegak lurus ($90^\circ$), tidak ada bagian gerak dari satu vektor yang searah dengan vektor lainnya, sehingga nilai keselarasan atau hasil perkalian titiknya bernilai nol mutlak:

Secara analitik koordinat, perkalian titik dihitung dengan mengalikan komponen yang seposisi ($x$ dengan $x$, $y$ dengan $y$) lalu menjumlahkannya, bukan dikali silang:

Pada soal, diketahui $\vec{u} = (2, 3)$ dan $\vec{v} = (1, a)$ saling tegak lurus. Maka persamaannya tersusun secara langsung:

Diberikan vektor $\vec{p} = (4, 1)$ dan $\vec{q} = (k, -4)$. Jika kedua vektor saling tegak lurus, berapakah nilai $k$?

  • k = -1
  • k = 1
  • k = 4
  • k = 0

Jawaban: k = 1

Dua vektor tegak lurus jika hasil perkalian titiknya nol: (4)(k) + (1)(-4) = 0, sehingga 4k - 4 = 0 atau k = 1. Opsi A keliru tanda aljabar, C mengalikan secara silang, dan D mengira salah satu komponen harus nol.

Dua vektor tegak lurus memiliki dot product bernilai nol.

Substitusi & Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen yang seposisi secara aljabar.

Setelah nilai parameter $a = -\frac{2}{3}$ ditemukan dari sifat perkalian titik, langkah berikutnya adalah mencari komponen konkret dari vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ melalui substitusi langsung:

Dalam prinsip koordinat GPS, menjumlahkan dua vektor $\vec{a} + \vec{b}$ berarti menggabungkan total pergeseran: langkah horizontal digabung dengan langkah horizontal, dan langkah vertikal digabung dengan langkah vertikal:

Menghitung Panjang Resultan

Panjang vektor dihitung menggunakan prinsip Pythagoras dari komponen-komponennya.

Pada koordinat GPS, jika kamu melangkah ke arah barat sejauh $-\frac{1}{3}$ dan ke arah selatan sejauh $-\frac{1}{3}$, jarak lurus terpendek dari titik awal ke titik akhir membentuk sisi miring segitiga siku-siku. Karena itu, rumus panjang vektor (Euclidean norm) adalah:

Diagram segitiga siku-siku pada koordinat Kartesius yang menghitung panjang vektor resultan -1/3, -1/3 .

Kuadrat dari bilangan negatif selalu menghasilkan nilai positif: $\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$. Dengan menerapkan rumus Pythagoras pada vektor resultan $\vec{a} + \vec{b} = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right)$, kita peroleh:

Hasil ini tepat sesuai dengan Opsi A.

Sebuah vektor memiliki komponen $\left(-\frac{3}{4}, -\frac{3}{4}\right)$. Berapakah panjang vektor tersebut?

  • \frac{3}{4}\sqrt{2}
  • \frac{9}{16}\sqrt{2}
  • -\frac{3}{4}\sqrt{2}
  • \frac{3}{2}

Jawaban: \frac{3}{4}\sqrt{2}

Panjang vektor dihitung dengan \sqrt{(-3/4)^2 + (-3/4)^2} = \sqrt{9/16 + 9/16} = \sqrt{18/16} = \frac{3\sqrt{2}}{4}. Pengecoh B lupa menarik akar dari penyebut/pembilang dengan tuntas, C keliru menganggap panjang bisa bernilai negatif, dan D menjumlahkan komponen tanpa pengakaran yang benar.

Menghitung panjang vektor dari komponen negatif menggunakan teorema Pythagoras.