Fungsi Komposisi: Melihat Aturan Total
Pemetaan Komposisi $A \to C$
Secara formal, komposisi fungsi didefinisikan sebagai penggabungan dua pemetaan berurutan. Jika kita memiliki fungsi $g: A \to B$ dan $f: B \to C$, di mana rentang (range) dari $g$ berada di dalam domain $f$, maka fungsi komposisi didefinisikan sebagai pemetaan baru:
Perhatikan struktur diagram panah di atas. Himpunan $B$ hanyalah himpunan perantara (intermediate set). Ketika fungsi total $h(x)$ sudah diketahui aturannya, sistem bekerja sebagai satu fungsi tunggal yang menghubungkan himpunan input $A$ langsung ke himpunan output akhir $C$.
Jika sebuah sistem menghasilkan nilai akhir di $C$, katakanlah $y \in C$, maka untuk mencari nilai input aslinya $x \in A$, kita cukup menyelesaikan persamaan:
Kita tidak diwajibkan mengurai atau mengetahui rumus masing-masing tahap secara terpisah jika relasi total $h(x)$ sudah diberikan secara eksplisit.
Sebuah sistem pemrosesan menghubungkan himpunan A ke B melalui fungsi g, lalu B ke C melalui fungsi f. Jika diketahui fungsi gabungan k(x) = (f o g)(x) = 3x + 2 dan output akhir di C adalah 11, apakah nilai input awal x di A dapat ditentukan?
- Nilai x tidak bisa ditentukan karena rumus fungsi g(x) dan f(x) tidak diketahui secara terpisah.
- Nilai x dapat ditentukan secara langsung karena k(x) adalah pemetaan tunggal langsung dari A ke C.
- Diperlukan nilai elemen di himpunan perantara B terlebih dahulu untuk melacak balik nilai x.
- Nilai x hanya bisa ditentukan jika kita mengetahui setidaknya invers dari fungsi tahap pertama g(x).
Jawaban: Nilai x dapat ditentukan secara langsung karena k(x) adalah pemetaan tunggal langsung dari A ke C.
Karena k(x) = (f o g)(x) memetakan himpunan A langsung ke C, persamaan k(x) = 11 dapat langsung diselesaikan untuk mencari nilai x di domain A tanpa memerlukan informasi detail mengenai f(x) maupun g(x).
Fungsi komposisi total (f o g)(x) cukup untuk memetakan input awal ke output akhir tanpa perlu tahu rumus individual f(x) atau g(x).
Menguji Pernyataan (1)
Pada soal, target akhir yang diinginkan teknisi adalah angka suhu tepat $5$, yang berarti:
Pernyataan (1) menyatakan bahwa persamaan total dari penggabungan kedua tahap pemrosesan bernilai $2x - 1$. Ini memberikan rumus eksplisit untuk fungsi komposisinya secara langsung:
Dengan menyamakan kedua hubungan tersebut, kita memperoleh persamaan linear satu variabel:
Hal ini membuktikan bahwa tanpa perlu membedah rumus internal $f(x)$ maupun $g(x)$, kita sudah memperoleh satu nilai sinyal sensor awal yang pasti dan unik ($x = 3$). Oleh karena itu, Pernyataan (1) SAJA cukup.
Diketahui output akhir sebuah sistem dua tahap adalah (f o g)(x) = 13. Jika suatu pernyataan memberikan persamaan total (f o g)(x) = 4x - 3, bagaimana kecukupan data pernyataan tersebut untuk menentukan nilai sinyal awal x?
- Tidak cukup, karena fungsi pemroses awal g(x) belum dinyatakan secara terpisah.
- Tidak cukup, karena kita memerlukan nilai perantara antara kedua tahap pemrosesan.
- Cukup, karena persamaan linear 4x - 3 = 13 menghasilkan tepat satu solusi unik untuk x.
- Cukup, namun hanya jika diasumsikan bahwa domain sinyal x terbatas pada bilangan bulat positif.
Jawaban: Cukup, karena persamaan linear 4x - 3 = 13 menghasilkan tepat satu solusi unik untuk x.
Persamaan 4x - 3 = 13 adalah persamaan linear dengan satu variabel yang memiliki solusi tunggal x = 4. Dalam data sufficiency, kepastian mendapatkan satu nilai unik berarti informasi tersebut sudah cukup.
Persamaan linear satu variabel ax + b = c dengan a ≠ 0 selalu memiliki solusi tunggal yang pasti (cukup dalam data sufficiency).
Merakit Kembali Pernyataan (2)
Bagaimana jika informasi yang diberikan bukan fungsi total, melainkan komponen-komponennya secara terpisah? Inilah yang disajikan dalam Pernyataan (2):
Rumus pembalikan tahap kedua: $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{2}$
Rumus tahap pertama: $g(x) = x + 2$
Karena fungsi invers bersifat simetris terhadap garis $y = x$, mencari invers dari $f^{-1}(x)$ akan mengembalikan fungsi asal $f(x)$.
Misalkan $y = f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{2}$. Untuk mencari $f(x)$, kita nyatakan $x$ dalam $y$:
Setelah menemukan $f(x)$ dan memiliki $g(x) = x + 2$, kita rakit fungsi komposisinya secara aljabar:
Substitusikan $(x + 2)$ ke dalam variabel fungsi $f$:
Dengan demikian, informasi pada Pernyataan (2) secara mandiri juga mampu memberikan satu nilai $x$ yang pasti tanpa membutuhkan Pernyataan (1). Artinya, Pernyataan (2) SAJA cukup.