Aljabar Umur: Menjinakkan Pecahan

Mesin Waktu 5 Tahun Lalu

Umur di masa lalu dihitung dengan mengurangi umur sekarang dengan angka yang sama untuk semua orang. Bayangkan sebuah mesin waktu: saat kita memutar waktu mundur sejauh $5$ tahun, semua orang di dunia ikut berkurang umurnya sebanyak $5$ tahun, tanpa terkecuali. Jika umur Adik saat ini kita sebut sebagai variabel $x$ dan umur Kakak adalah $y$, maka $5$ tahun yang lalu umur mereka berturut-turut adalah $x - 5$ dan $y - 5$.

Garis waktu perpindahan umur dari 5 tahun lalu, sekarang, hingga 5 tahun depan.

Dari garis waktu di atas, kita bisa merumuskan dua besaran penting pada kondisi $5$ tahun lalu:

  1. Jumlah umur mereka: $(x - 5) + (y - 5) = x + y - 10$. Perhatikan bahwa angka pengurangnya menjadi $10$ karena kedua orang sama-sama diputar mundur $5$ tahun oleh mesin waktu.

  2. Selisih umur mereka: $(y - 5) - (x - 5) = y - 5 - x + 5 = y - x$. Selisih umur ini bernilai invarian (tidak pernah berubah kapan pun). Selisih umur mereka $5$ tahun lalu sama persis dengan selisih umur mereka hari ini maupun di masa depan.

Soal menyatakan bahwa jumlah umur mereka $5$ tahun lalu sama dengan $5$ kali selisih keduanya. Berarti kalimat matematikanya adalah:

$$x + y - 10 = 5(y - x)$$

Merapikan Persamaan Aljabar

Persamaan aljabar yang panjang harus disederhanakan dengan mengelompokkan variabel yang sama. Bentuk $x + y - 10 = 5(y - x)$ masih tampak rumit karena variabel $x$ dan $y$ tercecer di ruas kiri maupun ruas kanan. Langkah awal yang teratur akan mencegah kesalahan perhitungan tanda positif atau negatif.

Pertama, kalikan angka $5$ ke dalam tanda kurung di ruas kanan:

$$x + y - 10 = 5y - 5x$$

Selanjutnya, kumpulkan semua suku yang memiliki variabel $x$ dan $y$ ke salah satu sisi, lalu pindahkan konstanta ke sisi sebaliknya:

$$x + 5x + y - 5y = 10$$

$$6x - 4y = 10$$

Kedua ruas memiliki faktor persekutuan yang sama, yaitu $2$. Agar perhitungannya lebih ringan, bagi seluruh persamaan dengan $2$:

$$3x - 2y = 5$$

Persamaan sederhana ini kini siap digabungkan dengan informasi hubungan umur lainnya.

Bentuk paling sederhana dari persamaan linear $2a + b - 4 = 3(a - b)$ adalah ....

  • a - 2b = -4
  • a - 4b = -4
  • 5a - 2b = 4
  • a + 4b = 4

Jawaban: a - 4b = -4

Kalikan 3 ke dalam kurung: 2a + b - 4 = 3a - 3b. Kumpulkan variabel ke ruas kiri: 2a - 3a + b + 3b = 4, menghasilkan -a + 4b = 4. Jika kedua ruas dikalikan -1, bentuknya menjadi a - 4b = -4 (Opsi B). Pengecoh A lupa mengalikan 3 ke b, pengecoh C salah tanda saat memindahkan suku, dan pengecoh D salah tanda saat mengurangkan 2a dengan 3a.

Menyederhanakan persamaan linear dua variabel dengan mengelompokkan suku sejenis.

Substitusi Pecahan

Substitusi mengubah persamaan dua variabel menjadi satu variabel dengan memasukkan nilai variabel lain. Kalimat "sekarang umur adiknya adalah $\frac{13}{17}$ dari umur kakaknya" dapat langsung dituliskan menjadi persamaan:

$$x = \frac{13}{17}y$$

Hubungan ini memberi tahu kita bahwa nilai $x$ bisa digantikan sepenuhnya oleh ekspresi $\frac{13}{17}y$. Sekarang, lakukan teknik substitusi ke dalam persamaan $3x - 2y = 5$:

$$3\left(\frac{13}{17}y\right) - 2y = 5$$

$$\frac{39}{17}y - 2y = 5$$

Banyak orang merasa cemas saat bertemu pecahan, padahal kuncinya hanyalah menyamakan penyebut. Angka bulat $2$ kita ubah ke bentuk pecahan berpenyebut $17$, yaitu $\frac{34}{17}$ (karena $2 \times 17 = 34$):

$$\frac{39}{17}y - \frac{34}{17}y = 5$$

$$\frac{5}{17}y = 5$$

Dengan diperolehnya nilai $y = 17$, kita dengan mudah menghitung nilai $x$:

$$x = \frac{13}{17}(17) = 13$$

Jadi, umur saat ini adalah Kakak $17$ tahun dan Adik $13$ tahun.