Membongkar Siklus Angka Pangkat Raksasa

Memetakan Jejak Angka Satuan

Pernahkah kamu membayangkan menghitung $7^{2026}$? Angkanya pasti raksasa dan bikin kalkulator mana pun pusing! Tapi di soal TKA, sering kali kita tidak diminta mencari nilai utuhnya. Kita cuma ditanya angka satuan (digit paling belakang).

Lalu, bagaimana cara mencari satuan dari perkalian yang begitu panjang? Kuncinya adalah: angka satuan sebuah bilangan hanya dipengaruhi oleh perkalian angka satuan sebelumnya. Kita bisa mengabaikan semua angka puluhan, ratusan, dst.

Mari kita petakan jejaknya dengan melakukan observasi pada $7^n$:

• $7^1 = 7$ (satuan murni $7$)

• $7^2 = 49$ (satuannya $9$)

• $7^3 = (\text{ujungnya } 9) \times 7 = 63$ (satuannya $3$)

• $7^4 = (\text{ujungnya } 3) \times 7 = 21$ (satuannya $1$)

• $7^5 = (\text{ujungnya } 1) \times 7 = 7$ (mulai dari $7$ lagi!)

Ternyata, pola angka satuan untuk pangkat 7 adalah $7, 9, 3, 1$ dan akan terus berulang. Artinya, panjang siklusnya adalah $4$ langkah.

Analogi Roda Gigi Waktu

Coba bayangkan siklus berulang tadi seperti sebuah roda gigi pada jam. Ia tidak pernah pergi ke mana-mana, hanya berputar di tempat yang sama terus-menerus tak terhingga.

Setiap kali kamu menaikkan nilai pangkat ($n$), sama saja kamu memutar roda gigi ini sejauh satu kali ("klik").

Pada roda gigi siklus 7, terdapat 4 gigi berlabel $7, 9, 3, 1$:

• Pangkat $1$ berhenti di gigi pertama ($7$).

• Pangkat $2$ berputar 1 klik dan berhenti di gigi kedua ($9$).

• Pangkat $3$ berputar 1 klik lagi mendarat di gigi ketiga ($3$).

• Pangkat $4$ menyelesaikan putaran di gigi keempat ($1$).

• Pangkat $5$ akan menekan roda melewati gigi keempat dan... klik, mendarat ke awal lagi ($7$).

Sisa vs Hasil Bagi: Jangan Tertukar!

Nah, kalau polanya berulang setiap 4 langkah, bagaimana dengan urutan ke-20?

Banyak yang spontan membagi 20 dengan 4. Hasilnya $5$. Angka 5 ini adalah hasil bagi (banyaknya putaran penuh yang dilakukan roda gigi). Tapi sayangnya, banyaknya putaran tidak menjawab di mana kita berhenti. Yang menjadi kompas tujuan pendaratan kita adalah sisa pembagiannya.

• Sisa $1$ = roda mendarat di gigi ke-1.

• Sisa $2$ = roda mendarat di gigi ke-2.

• Sisa $3$ = roda mendarat di gigi ke-3.

Tapi, apa yang terjadi bila sisanya $0$? Pembagian $20 \div 4$ tidak bersisa. Sisa $0$ artinya kita pas menyelesaikan putaran. Bukannya loncat ke gigi pertama lagi, sisa $0$ mengindikasikan bahwa roda kita berputar dengan mantap dan tepat mendarat di gigi terakhir dari siklus tersebut!