Peluang Koin: Dari Ruang Sampel ke Harapan
Memetakan Semua Kemungkinan
Bayangkan kamu lagi main board game dan langkah pionmu ditentuin dari lemparan 3 koin sekaligus. Kalau kamu mau nyusun strategi yang jitu, kamu gak bisa cuma nebak-nebak hasil koinnya. Kamu butuh daftar lengkap semua kemungkinan yang bisa keluar.
Satu koin itu punya 2 sisi, Angka (A) dan Gambar (G). Kalau koin pertama dilempar, kemungkinannya 2. Kalau koin kedua ikut dilempar, kemungkinannya jadi $2 \times 2 = 4$. Nah, karena ada 3 koin, total kemungkinannya adalah $2 \times 2 \times 2 = 8$.
Biar gak ada yang kelewat, kita bisa mendatanya dengan sistematis pakai diagram pohon. Mulai dari yang Angka semua, lalu geser masukin Gambar pelan-pelan:
Dari diagram di atas, kita dapet 8 kombinasi: {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}. Dalam bahasa matematika, kumpulan semua kemungkinan ini disebut Ruang Sampel, dan jumlahnya kita lambangkan dengan $n(S) = 8$.
Jika kamu melempar 4 buah koin secara bersamaan, ada berapa total kemungkinan (ruang sampel) yang bisa terjadi?
- A. 2 kemungkinan
- B. 6 kemungkinan
- C. 16 kemungkinan
- D. 8 kemungkinan
Jawaban: C. 16 kemungkinan
Satu koin punya 2 sisi. Lempar 4 koin berarti $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ kemungkinan total ruang sampelnya.
Ruang sampel eksperimen majemuk dikalikan, bukan ditambahkan.
Menghitung Peluang 'Tepat'
Sekarang kita udah punya daftar 8 kemungkinan tadi. Di soal, Pernyataan I bilang peluang muncul tepat dua gambar adalah $\frac{1}{4}$. Bener gak ya?
Peluang itu pada dasarnya cuma membandingkan berapa banyak hasil yang kita incer dengan total semua kemungkinan yang ada.
Kata kunci di sini adalah "tepat dua gambar". Artinya, koinnya harus punya 2 Gambar dan 1 Angka. Gak boleh cuma 1 Gambar, apalagi 3 Gambar. Mari kita cek daftar kita:
Dari 8 kemungkinan, hasil yang punya tepat dua gambar cuma ada 3, yaitu: AGG, GAG, dan GGA. Jadi, peluangnya adalah $\frac{3}{8}$.
Karena $\frac{3}{8}$ jelas beda sama $\frac{1}{4}$ (alias $\frac{2}{8}$), berarti Pernyataan I SALAH. Banyak orang keliru di soal kayak gini karena males mendaftar semua kemungkinan sampai tuntas!
Dari 8 kemungkinan pelemparan 3 koin, berapakah peluang muncul 'TEPAT satu gambar'?
- A. 1/8
- B. 3/8
- C. 4/8
- D. 7/8
Jawaban: B. 3/8
Kejadian 'tepat 1 gambar' berarti harus ada 1 Gambar dan 2 Angka. Dari 8 kemungkinan ruang sampel, yang cocok adalah AAG, AGA, dan GAA (ada 3). Jadi peluangnya 3/8.
Kata 'tepat' berarti jumlahnya harus sama persis, tidak boleh lebih dan tidak boleh kurang.
Harapan Matematis: Bukti Intuisimu
Kamu udah punya intuisi yang bagus soal "Frekuensi Harapan": berapa kali suatu kejadian diperkirakan bakal terjadi kalau percobaannya diulang berkali-kali.
Di Pernyataan II, kita ditantang ngitung: kalau 3 koin itu dilempar barengan sebanyak 240 kali, berapa kali kita berharap dapet ketiganya Angka (AAA)?
Langkah pertamanya, cari dulu peluang dapet (AAA) dalam satu kali lemparan 3 koin. Dari 8 kemungkinan ruang sampel, (AAA) itu cuma ada 1. Berarti peluangnya $\frac{1}{8}$.
Nah, kalau lemparannya diulang 240 kali, kita tinggal kalikan peluang tadi sama jumlah lemparan (disebut $N$). Frekuensi Harapan = $\frac{1}{8} \times 240 = 30$.
Ternyata pas banget! Hasil hitungan kita nunjukin kita bisa berekspektasi dapet (AAA) sebanyak 30 kali. Makanya, Pernyataan II BENAR.