Akar Matematis Rumus Kerja Bersama

Mengapa Berubah Jadi Pecahan?

Laju kerja (rate) secara matematis didefinisikan sebagai total pekerjaan dibagi total waktu penyelesaian.

Dalam fisika, kita mengenal gerak lurus beraturan dengan rumus jarak $d = v \times t$, di mana $v = d / t$. Konsep pekerjaan (work) bekerja persis dengan logika yang sama:

$$W = r \times t$$

Di sini, $W$ melambangkan total kerja (di mana $1$ tangki utuh bernilai $W = 1$), $r$ adalah laju kerja, dan $t$ adalah durasi waktu pengisian.

Untuk mencari nilai laju pengisian $r$, kita menyusun ulang persamaan menjadi:

$$r = \frac{W}{t}$$

Jika pompa A dapat mengisi $1$ tangki penuh dalam waktu $4$ jam, maka laju pompa A adalah:

$$r_A = \frac{1}{4} \text{ tangki per jam}$$

Begitu pula untuk pompa B yang membutuhkan waktu $6$ jam:

$$r_B = \frac{1}{6} \text{ tangki per jam}$$

Mengapa waktu penyelesaian dibalik menjadi bentuk pecahan? Karena pecahan tersebut bukan sekadar angka jam, melainkan kecepatan pengisian per satu satuan waktu (unit rate).

Simulasi di atas memperlihatkan bahwa setiap kali waktu berjalan bertambah $1$ jam, volume air yang masuk tepat bertambah sebesar $\frac{1}{4}$ bagian tangki. Pada jam ke-$4$, akumulasi air mencapai $\frac{4}{4} = 1$ tangki utuh.

Kerja Bersama: Menjumlahkan Laju

Ketika dua agen bekerja bersama, laju (kecepatan) kerja mereka yang dijumlahkan, bukan waktu mereka.

Berdasarkan prinsip superposisi, dua pipa yang menuangkan air ke dalam wadah yang sama akan menghasilkan debit gabungan yang merupakan akumulasi dari debit masing-masing pipa. Secara formal, persamaannya dituliskan:

$$r_{\text{total}} = r_A + r_B$$

Substitusikan laju masing-masing pompa yang telah kita turunkan:

$$r_{\text{total}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$$

Untuk menjumlahkan kedua pecahan ini, samakan penyebutnya menggunakan KPK dari $4$ dan $6$, yaitu $12$:

$$r_{\text{total}} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \text{ tangki per jam}$$

Diagram di atas menunjukkan bagaimana aliran dari Pipa A ($\frac{1}{4}$ tangki/jam) dan Pipa B ($\frac{1}{6}$ tangki/jam) bersatu menjadi debit gabungan sebesar $\frac{5}{12}$ tangki/jam.

Memecah Persamaan: State Tracking

Pekerjaan bertahap harus dihitung dengan membagi total pekerjaan berdasarkan durasi masing-masing kondisi (state).

Teknik pemodelan ini disebut State Tracking, yaitu memecah proses aljabar menjadi beberapa tahap berurutan berdasarkan perubahan kondisi kerja. Pada soal ini, proses terbagi menjadi dua tahap:

1. Tahap 1: Kedua pompa (A dan B) bekerja bersama selama $t_1 = 1{,}5$ jam.

2. Tahap 2: Pompa A rusak, sehingga hanya pompa B yang bekerja selama $t_2$ jam hingga tangki penuh.

Persamaan kekekalan kerja total tangki dinyatakan sebagai:

$$W_{\text{total}} = W_{\text{tahap1}} + W_{\text{tahap2}} = 1$$

Hitung pekerjaan yang selesai pada Tahap 1 menggunakan laju gabungan $r_{\text{total}} = \frac{5}{12}$ tangki/jam dan waktu $t_1 = 1{,}5 = \frac{3}{2}$ jam:

$$W_{\text{tahap1}} = r_{\text{total}} \times t_1 = \frac{5}{12} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \text{ bagian}$$

Berdasarkan diagram balok di atas, tangki utuh bernilai $1$. Untuk mencari sisa pekerjaan yang harus diselesaikan pada Tahap 2, kita kurangkan bagian yang telah terisi dari kapasitas total:

$$W_{\text{tahap2}} = 1 - W_{\text{tahap1}} = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \text{ bagian}$$