Barisan & Deret: Dari Pola ke Rumus
Aritmatika vs Geometri
Barisan geometri dibentuk oleh pengali tetap, bukan penambahan tetap seperti barisan aritmatika.
Dalam matematika, pola pertambahan bilangan terbagi menjadi dua jalur utama:
Barisan aritmatika bekerja lewat penjumlahan konstan (beda, $+b$). Nilainya bertambah secara linier dan bertahap.
Barisan geometri bekerja seperti mesin pengganda: tiap suku baru didapat dengan memasukkan suku sebelumnya ke mesin pengganda yang melipatgandakan ukurannya dengan faktor pengali tetap (rasio, $\times r$).
Kata geometri pada teks soal adalah petunjuk tegas: kita wajib mencari pengali tetap ($r$), bukan selisih pertambahan biasa.
Langkah Pangkat: Mencari Rasio
Jarak dari suku pertama ke suku ke-$n$ dilewati dengan mengalikan rasio sebanyak $n-1$ kali.
Bayangkan kita meletakkan $6$ pos bernomor dari $U_1$ hingga $U_6$. Dari pos ke-$1$ menuju pos ke-$2$, kita memasukkan nilai ke mesin pengganda satu kali ($\times r$). Untuk melangkah dari pos ke-$1$ sampai pos ke-$6$, kita tidak melipatgandakannya $6$ kali, melainkan hanya $5$ kali loncatan ($r^5$).
Secara formal matematis, hubungan antar-suku ini dirumuskan sebagai:
$$U_n = a \cdot r^{n-1}$$
Dengan memasukkan informasi dari soal ($a = 3$, $n = 6$, dan $U_6 = 96$):
$$96 = 3 \cdot r^{6-1}$$
$$96 = 3 \cdot r^5$$
Bagi kedua ruas dengan $3$ untuk mengisolasi suku berpangkat:
$$\frac{96}{3} = r^5$$
$$32 = r^5$$
Karena $2^5 = 32$, nilai akar pangkat $5$ dari $32$ adalah $r = 2$. Artinya, setiap potongan tali berikutnya berukuran tepat dua kali lipat lebih panjang dari potongan sebelumnya.
Jika suku pertama suatu barisan geometri adalah a dengan rasio r, tentukan kebenaran dari masing-masing pernyataan berikut!
- Untuk mencari suku ke-4, kita mengalikan suku pertama dengan rasio sebanyak 4 kali (r^4). — Salah
- Suku ke-10 didapat dari a dikali r^9. — Benar
Pernyataan 1 Salah: Dari suku ke-1 ke suku ke-4 hanya ada 3 kali lompatan pengali rasio, sehingga U_4 = a * r^3, bukan r^4. Pernyataan 2 Benar: Menuju suku ke-10 dibutuhkan tepat (10 - 1) = 9 kali pelipatan rasio dari suku pertama, sehingga U_10 = a * r^9.
Banyaknya perkalian rasio selalu berjumlah (n - 1) kali dari suku pertama
Menjumlahkan Total (Deret)
Panjang tali semula adalah hasil penjumlahan seluruh nilai suku barisan tersebut, bukan hanya suku terakhirnya.
Karena rasio telah ditemukan ($r = 2$), kita dapat mendaftar panjang keenam potongan tali secara konkret melalui mesin pengganda:
Potongan ke-$1$: $3$ cm
Potongan ke-$2$: $3 \times 2 = 6$ cm
Potongan ke-$3$: $6 \times 2 = 12$ cm
Potongan ke-$4$: $12 \times 2 = 24$ cm
Potongan ke-$5$: $24 \times 2 = 48$ cm
Potongan ke-$6$: $48 \times 2 = 96$ cm
Panjang tali mula-mula diperoleh dengan menyatukan kembali seluruh potongan menjadi satu kesatuan:
$$\text{Panjang tali semula} = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189\text{ cm}$$
Hasil ini membuktikan bahwa Opsi C ($189$ cm) adalah jawaban yang tepat.